Calcule.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(2-\frac{1}{x}\right)

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que nos dá.
  • O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left(2-\frac{1}{x}\right).
  • A expressão dada é 2-\dfrac{1}{x}. A variável x tende para +\infty.
  • Objetivo: determinar o valor numérico para o qual a expressão se aproxima quando x cresce sem limite.

Passo 2

Ideia geral e propriedades de limites que vou usar (explicando devagar).
  • Uma constante tem limite igual a ela mesma: para qualquer constante a,
\lim_{x\to\infty} a = a.
Aqui isso significa que
\lim_{x\to\infty} 2 = 2.
  • Se \lim_{x\to\infty} f(x) e \lim_{x\to\infty} g(x) existem, então vale a linearidade:
\lim_{x\to\infty}\big(f(x)-g(x)\big)=\lim_{x\to\infty}f(x)-\lim_{x\to\infty}g(x).
Assim, para aplicar essa propriedade precisamos conhecer \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}.

Passo 3

Mostrar que \displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0 (prova \varepsilon- M, passo a passo).
Queremos provar que para todo \varepsilon>0 existe M>0 tal que, para todo x>M, vale
\left|\frac{1}{x}-0\right|<\varepsilon.
Escolha
M=\frac{1}{\varepsilon}.
Se x>M então x>\dfrac{1}{\varepsilon}, e portanto, já que x>0,
\left|\frac{1}{x}-0\right|=\frac{1}{x}<\frac{1}{M}=\varepsilon.
Isso mostra que, conforme x\to\infty, a fração \dfrac{1}{x} fica arbitrariamente pequena; logo
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.

Passo 4

Aplicar a linearidade dos limites e concluir.
Tendo
\lim_{x\to\infty}2=2 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0,
pela propriedade da diferença de limites segue
\lim_{x\to\infty}\left(2-\frac{1}{x}\right)=2-0=2.

Resposta

2

Exercícios relacionados