Calcule
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(2 x^{5}-2 x^{4}+x-1\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a seguinte quantidade:
\lim_{x\to -\infty}\left(2x^{5}-2x^{4}+x-1\right).
Informações dadas (úteis):
  • A expressão é um polinômio de quinto grau: termo de maior grau é \,2x^{5}\,.
  • Coeficiente líder: 2.
  • Grau do polinômio: 5 (ímpar).

Passo 2

Ideia principal (explicada de forma didática): para polinômios, quando |x| fica muito grande, o termo de maior grau domina o comportamento da função — os termos de grau menor tornam-se insignificantes em comparação. Vou mostrar isso de maneira algébrica para não depender só da intuição.

Passo 3

Fatorando x^{5} para evidenciar o termo dominante:
2x^{5}-2x^{4}+x-1 = x^{5}\!\left(2 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{x^{5}}\right).
Aqui cada fração aparece porque foi dividida por x^{5}. Agora analisamos o comportamento do parêntese quando x\to -\infty.

Passo 4

Comportamento das frações quando x\to -\infty:
  • \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{2}{x}=0, porque o denominador tende a infinito em módulo.
  • \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{4}}=0.
  • \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{5}}=0.
Portanto
\lim_{x\to -\infty}\left(2 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{x^{5}}\right)=2.

Passo 5

Agora analisamos \displaystyle \lim_{x\to -\infty}x^{5}. Como x é negativo e o expoente 5 é ímpar, x^{5} também é negativo e seu valor absoluto cresce sem limite quando |x| cresce. Logo
\lim_{x\to -\infty}x^{5}=-\infty.

Passo 6

Combinação final: a expressão original é produto de x^{5} (que tende a -\infty) pelo parêntese (que tende a 2). O produto de um número finito positivo ( 2) por -\infty é -\infty. Portanto
\lim_{x\to -\infty}\left(2x^{5}-2x^{4}+x-1\right) = -\infty.

Resposta

-\infty

Exercícios relacionados