Calcule
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \operatorname{sen}(x) e^{1 / x}
(a) -\infty
(b) \infty
(c) 0
(d) 1

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0^{+}} \operatorname{sen}(x)\,e^{1/x}.
Informações dadas / perguntas implícitas:
  • A variável x tende para 0 pela direita (ou seja, x>0 e x\to0).
  • A expressão é o produto de \operatorname{sen}(x) e e^{1/x}.
  • Há opções de resposta: (a) -\infty, (b) \infty, (c) 0, (d) 1.

Passo 2

Fato útil: o quociente \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x} tem limite 1 quando x\to 0. Vou explicar isso de forma direta e intuitiva.
Para x\in(0,\tfrac{\pi}{2}) vale a desigualdade
\cos(x)\le \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\le 1.
Isso vem de uma comparação geométrica clássica ou de desigualdades trigonométricas. Como \lim_{x\to0}\cos(x)=1, pelo teorema do confronto (squeeze) obtemos
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
Significa que, para x muito pequeno e positivo, \operatorname{sen}(x) se comporta como x; mais precisamente \operatorname{sen}(x)=x\cdot(1+o(1)).

Passo 3

Usei a fatoração
\operatorname{sen}(x)\,e^{1/x}=\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\cdot\bigl(x\,e^{1/x}\bigr).
Agora vou estudar separadamente os dois fatores à direita quando x\to0^{+}:
  • já sabemos que \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}\to1;
  • falta analisar x\,e^{1/x}.

Passo 4

Para estudar x\,e^{1/x} é conveniente a mudança de variável t=\dfrac{1}{x}. Quando x\to0^{+} temos t\to+\infty. Reescrevendo:
x\,e^{1/x}=\frac{1}{t}e^{t}=\frac{e^{t}}{t}.
Então estudar x\,e^{1/x} quando x\to0^{+} é equivalente a estudar \dfrac{e^{t}}{t} quando t\to+\infty.

Passo 5

Mostro que \displaystyle\lim_{t\to+\infty}\frac{e^{t}}{t}=+\infty. Uma maneira simples é usar L’Hôpital: trata-se de uma forma indeterminada \dfrac{\infty}{\infty}. Derivando numerador e denominador em relação a t obtemos
\lim_{t\to+\infty}\frac{e^{t}}{t}=\lim_{t\to+\infty}\frac{(e^{t})'}{(t)'}=\lim_{t\to+\infty}\frac{e^{t}}{1}=\lim_{t\to+\infty}e^{t}=+\infty.
Intuitivamente: a função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio linear, logo e^{t}/t\to+\infty. Portanto
\lim_{x\to0^{+}} x\,e^{1/x}=+\infty.

Passo 6

Voltando à fatoração do Passo 3, temos um produto em que um fator tende para 1 e o outro tende para +\infty. Além disso, para x pequeno e positivo, \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}>0, então o sinal não muda. Portanto o produto tende para +\infty. Ou seja,
\lim_{x\to 0^{+}}\operatorname{sen}(x)\,e^{1/x}=+\infty.

Resposta

(b) \infty

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