Calcule
(a)
(b)
(c) 0
(d) 1
(b)
(c) 0
(d) 1
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas / perguntas implícitas:
- A variável
tende para pela direita (ou seja, e ). - A expressão é o produto de
e . - Há opções de resposta: (a)
, (b) , (c) , (d) .
Passo 2
Fato útil: o quociente
tem limite
quando
. Vou explicar isso de forma direta e intuitiva.
Para
vale a desigualdade
Isso vem de uma comparação geométrica clássica ou de desigualdades trigonométricas. Como
, pelo teorema do confronto (squeeze) obtemos
Significa que, para
muito pequeno e positivo,
se comporta como
; mais precisamente
.
Passo 3
Usei a fatoração
Agora vou estudar separadamente os dois fatores à direita quando
:
- já sabemos que
; - falta analisar
.
Passo 4
Para estudar
é conveniente a mudança de variável
. Quando
temos
. Reescrevendo:
Então estudar
quando
é equivalente a estudar
quando
.
Passo 5
Mostro que
. Uma maneira simples é usar L’Hôpital: trata-se de uma forma indeterminada
. Derivando numerador e denominador em relação a
obtemos
Intuitivamente: a função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio linear, logo
. Portanto
Passo 6
Voltando à fatoração do Passo 3, temos um produto em que um fator tende para
e o outro tende para
. Além disso, para
pequeno e positivo,
, então o sinal não muda. Portanto o produto tende para
. Ou seja,
Resposta
(b)