Use o método da bisseção para calcular uma solução de e^{x}=x+2 no intervalo [-2,0] com precisão pré-fixada \varepsilon=10^{-1}. Justifique tudo o que for necessário para garantir convergência.

Passo 1

O enunciado pede: usar o método da bisseção para calcular uma solução da equação \mathrm{e}^{x}=x+2 no intervalo [-2,0] com precisão pré-fixada \varepsilon=10^{-1}.
Informações dadas e importantes para a resolução:
  • A função que vamos analisar é \displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x}-x-2.
  • O intervalo inicial é [a,b]=[-2,0].
  • A precisão desejada é \varepsilon=10^{-1}.

Passo 2

Verificar existência (e unicidade) da raiz no intervalo e justificar por que a bisseção pode ser aplicada.
  1. Continuidade e teorema do valor intermediário:
    A função \mathrm{e}^{x} é contínua em todo \mathbb{R} e as funções polinomiais também; assim \displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x}-x-2 é contínua em [-2,0]. Pelo Teorema do Valor Intermediário, se f(a) e f(b) têm sinais opostos então existe pelo menos uma raiz em [a,b].
  2. Calcular f(-2) e f(0):
f(-2)=\mathrm{e}^{-2}-(-2)-2=\mathrm{e}^{-2}
f(0)=\mathrm{e}^{0}-0-2=1-2=-1
Como \mathrm{e}^{-2}>0 (aproximadamente \mathrm{e}^{-2}\approx0,1353), temos f(-2)>0 e f(0)<0. Logo há ao menos uma raiz em [-2,0].
  1. Unicidade (opcional, mas útil):
    Calcule a derivada \displaystyle f'(x)=\mathrm{e}^{x}-1. Para x\in[-2,0) tem-se \mathrm{e}^{x}<1, logo f'(x)<0 em [-2,0). Assim f é estritamente decrescente em [-2,0) e a raiz é única no intervalo. Isso elimina dúvidas sobre múltiplas raízes.
Portanto, a hipótese necessária para aplicar a bisseção (continuidade e mudança de sinal) está satisfeita.

Passo 3

Explicar o método da bisseção e a estimativa de erro usada aqui.
  1. Ideia rápida do método:
    Começamos com um intervalo [a,b] onde f(a) e f(b) têm sinais opostos. Tomamos o ponto médio m=(a+b)/2 e avaliamos f(m). Se f(m)=0 paramos; se f(m) tem sinal igual a f(a) a raiz está em [m,b]; caso contrário está em [a,m]. Repetimos o processo sobre o subintervalo que contém a raiz.
  2. Estimativa de erro (fundamental para saber quantas iterações fazer):
    Se o intervalo inicial tem comprimento L=b-a, após n iterações o comprimento do intervalo que contém a raiz é
\frac{L}{2^{n}}.
Tomando como aproximação o ponto médio do intervalo após n iterações, o erro absoluto em relação à raiz real é no máximo metade do comprimento do intervalo, ou seja
\text{erro} \le \frac{L}{2^{n+1}}.
Aqui L é o comprimento inicial b-a, n é o número de iterações completas realizadas, e o fator 2^{n+1} vem do fato que a distância máxima do ponto médio até qualquer extremidade é metade do comprimento do intervalo.
  1. Determinar n para atingir \varepsilon:
    Queremos \dfrac{L}{2^{n+1}}\le \varepsilon. No nosso caso L=b-a=0-(-2)=2 e \varepsilon=10^{-1}=0,1. Então
\frac{2}{2^{n+1}}\le 0,1 \quad\Longleftrightarrow\quad 2^{n+1}\ge \frac{2}{0,1}=20.
Tomando logaritmo em base 2,
n+1 \ge \log_{2}(20)\approx 4{,}3219\quad\Longrightarrow\quad n\ge 3{,}3219.
Como n deve ser inteiro, o menor n que satisfaz é n=4. Portanto precisamos de 4 iterações (bisseções) completas para garantir erro menor ou igual a 0,1.

Passo 4

Executar as iterações da bisseção passo a passo (4 iterações) — calcular pontos médios, avaliar f e escolher subintervalo.
Definimos f(x)=\mathrm{e}^{x}-x-2. Vou calcular aproximações decimais de \mathrm{e}^{x} quando necessário (usando valores típicos suficientes para a precisão pedida).
Iteração 1:
  • Intervalo inicial: [a_{0},b_{0}]=[-2,0].
  • Ponto médio: m_{1}=\dfrac{-2+0}{2}=-1.
  • Avaliação:
f(-1)=\mathrm{e}^{-1}-(-1)-2=\mathrm{e}^{-1}-1\approx 0{,}367879-1=-0{,}632121<0.
  • Como f(-2)>0 e f(-1)<0, a raiz está em [-2,-1]. Novo intervalo [a_{1},b_{1}]=[-2,-1].
Iteração 2:
  • m_{2}=\dfrac{-2+(-1)}{2}=-1{,}5.
  • Avaliação:
f(-1{,}5)=\mathrm{e}^{-1{,}5}-(-1{,}5)-2=\mathrm{e}^{-1{,}5}-0{,}5\approx 0{,}223130-0{,}5=-0{,}276870<0.
  • Como f(-2)>0 e f(-1{,}5)<0, a raiz está em [-2,-1{,}5]. Novo intervalo [a_{2},b_{2}]=[-2,-1{,}5].
Iteração 3:
  • m_{3}=\dfrac{-2+(-1{,}5)}{2}=-1{,}75.
  • Avaliação:
f(-1{,}75)=\mathrm{e}^{-1{,}75}-(-1{,}75)-2=\mathrm{e}^{-1{,}75}-0{,}25\approx 0{,}173774-0{,}25=-0{,}076226<0.
  • Como f(-2)>0 e f(-1{,}75)<0, a raiz está em [-2,-1{,}75]. Novo intervalo [a_{3},b_{3}]=[-2,-1{,}75].
Iteração 4:
  • m_{4}=\dfrac{-2+(-1{,}75)}{2}=-1{,}875.
  • Avaliação:
f(-1{,}875)=\mathrm{e}^{-1{,}875}-(-1{,}875)-2=\mathrm{e}^{-1{,}875}-0{,}125\approx 0{,}153354-0{,}125=0{,}028354>0.
  • Agora f(-1{,}875)>0 e f(-1{,}75)<0, logo a raiz está em [-1{,}875,-1{,}75]. Novo intervalo [a_{4},b_{4}]=[-1{,}875,-1{,}75].
Observação: após 4 iterações o intervalo que contém a raiz é [-1{,}875,-1{,}75] e seu comprimento é
\frac{2}{2^{4}}=0{,}125.
A aproximação usual é o ponto médio desse último intervalo:
\tilde{x}=\frac{-1{,}875+(-1{,}75)}{2}=-1{,}8125.

Passo 5

Verificar o erro e concluir que a precisão foi atingida.
  1. Estimativa de erro garantida: após n=4 iterações temos, pelo item do Passo 3,
\text{erro}\le \frac{L}{2^{n+1}}=\frac{2}{2^{5}}=\frac{2}{32}=0{,}0625.
Isso mostra que a aproximação \tilde{x}=-1{,}8125 satisfaz |\tilde{x}-x^{*}|\le 0{,}0625<0{,}1=\varepsilon, onde x^{*} é a raiz real.
  1. Confirmação direta rápida (opcional): avaliar f(\tilde{x}) apenas para ver que está próximo de zero:
f(-1{,}8125)=\mathrm{e}^{-1{,}8125}-(-1{,}8125)-2\approx 0{,}1639-0{,}1875\approx -0{,}0236,
pequeno em módulo, coerente com o fato de que \tilde{x} está perto da raiz.
  1. Conclusão: com 4 iterações da bisseção obtemos a aproximação \tilde{x}=-1{,}8125 com erro garantido menor que \varepsilon=0{,}1.

Resposta

-1,8125

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