Use o método da bisseção para calcular uma solução de
no intervalo
com precisão pré-fixada
. Justifique tudo o que for necessário para garantir convergência.
Passo 1
O enunciado pede: usar o método da bisseção para calcular uma solução da equação
no intervalo
com precisão pré-fixada
.
Informações dadas e importantes para a resolução:
Informações dadas e importantes para a resolução:
- A função que vamos analisar é
. - O intervalo inicial é
. - A precisão desejada é
.
Passo 2
Verificar existência (e unicidade) da raiz no intervalo e justificar por que a bisseção pode ser aplicada.
-
Continuidade e teorema do valor intermediário:
A funçãoé contínua em todo e as funções polinomiais também; assim é contínua em . Pelo Teorema do Valor Intermediário, se e têm sinais opostos então existe pelo menos uma raiz em . -
Calcular
e :
Como
(aproximadamente
), temos
e
. Logo há ao menos uma raiz em
.
- Unicidade (opcional, mas útil):
Calcule a derivada. Para tem-se , logo em . Assim é estritamente decrescente em e a raiz é única no intervalo. Isso elimina dúvidas sobre múltiplas raízes.
Portanto, a hipótese necessária para aplicar a bisseção (continuidade e mudança de sinal) está satisfeita.
Passo 3
Explicar o método da bisseção e a estimativa de erro usada aqui.
-
Ideia rápida do método:
Começamos com um intervaloonde e têm sinais opostos. Tomamos o ponto médio e avaliamos . Se paramos; se tem sinal igual a a raiz está em ; caso contrário está em . Repetimos o processo sobre o subintervalo que contém a raiz. -
Estimativa de erro (fundamental para saber quantas iterações fazer):
Se o intervalo inicial tem comprimento, após iterações o comprimento do intervalo que contém a raiz é
Tomando como aproximação o ponto médio do intervalo após
iterações, o erro absoluto em relação à raiz real é no máximo metade do comprimento do intervalo, ou seja
Aqui
é o comprimento inicial
,
é o número de iterações completas realizadas, e o fator
vem do fato que a distância máxima do ponto médio até qualquer extremidade é metade do comprimento do intervalo.
- Determinar
para atingir :
Queremos. No nosso caso e . Então
Tomando logaritmo em base
,
Como
deve ser inteiro, o menor
que satisfaz é
. Portanto precisamos de
iterações (bisseções) completas para garantir erro menor ou igual a
.
Passo 4
Executar as iterações da bisseção passo a passo (4 iterações) — calcular pontos médios, avaliar
e escolher subintervalo.
Definimos
. Vou calcular aproximações decimais de
quando necessário (usando valores típicos suficientes para a precisão pedida).
Iteração 1:
- Intervalo inicial:
. - Ponto médio:
. - Avaliação:
- Como
e , a raiz está em . Novo intervalo .
Iteração 2:
-
. - Avaliação:
- Como
e , a raiz está em . Novo intervalo .
Iteração 3:
-
. - Avaliação:
- Como
e , a raiz está em . Novo intervalo .
Iteração 4:
-
. - Avaliação:
- Agora
e , logo a raiz está em . Novo intervalo .
Observação: após 4 iterações o intervalo que contém a raiz é
e seu comprimento é
A aproximação usual é o ponto médio desse último intervalo:
Passo 5
Verificar o erro e concluir que a precisão foi atingida.
- Estimativa de erro garantida: após
iterações temos, pelo item do Passo 3,
Isso mostra que a aproximação
satisfaz
, onde
é a raiz real.
- Confirmação direta rápida (opcional): avaliar
apenas para ver que está próximo de zero:
pequeno em módulo, coerente com o fato de que
está perto da raiz.
- Conclusão: com
iterações da bisseção obtemos a aproximação com erro garantido menor que .