Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
As informações relevantes que temos (diretamente do enunciado) são:
- A expressão é uma potência com base
e expoente . - A aproximação é por
(ou seja, se aproxima de pela direita).
Passo 2
Vamos primeiro avaliar o limite da base quando
. Como a função da base é contínua no ponto
(denominador não zera em
), podemos substituir:
Portanto a base tende para
, que é um número positivo e estritamente menor que
.
Passo 3
Agora avalio o limite do expoente quando
:
O numerador tende para
(pois
) e o denominador tende para
pela direita (pois
quando
). Logo a razão tende para
Ou seja, o expoente diverge para
.
Passo 4
Interpretação qualitativa (sem formalizar com log ainda): a base tende a um número
com
, e o expoente tende para
. Lembrando que para
tem-se
e
, portanto ao fazer
obtemos crescimento sem limite. Isso sugere que o limite da potência será
. Para deixar isso bem rigoroso e explicar a técnica que se usa em provas, vamos transformar tomando o logaritmo natural.
Defina
Defina
Para estudar o limite de
é comum tomar
. Temos
Já calculámos que
Como
, tem-se
. Então estamos diante de um produto entre algo que tende a
e uma constante negativa:
vezes (constante negativa) dá
. Mais precisamente,
Passo 5
Se
, então
. Portanto o limite da expressão original diverge para
.
Intuição rápida e exemplo para fixar: pense em algo como . Se
, a potência tende a
. No problema dado, a base tende a
e o expoente tende a
, equivalente a um
no exemplo (pois
) — daí o crescimento ilimitado.
Intuição rápida e exemplo para fixar: pense em algo como