Calcule:
\lim _{x \rightarrow-2^{+}}\left(\frac{x+8}{16-5 x}\right)^{(x+1) /(x+2)}\

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to-2^{+}}\left(\frac{x+8}{16-5x}\right)^{\frac{x+1}{x+2}}.
As informações relevantes que temos (diretamente do enunciado) são:
  • A expressão é uma potência com base \dfrac{x+8}{16-5x} e expoente \dfrac{x+1}{x+2}.
  • A aproximação é por x\to-2^{+} (ou seja, x se aproxima de -2 pela direita).

Passo 2

Vamos primeiro avaliar o limite da base quando x\to-2^{+}. Como a função da base é contínua no ponto x=-2 (denominador não zera em -2), podemos substituir:
\lim_{x\to-2^{+}}\frac{x+8}{16-5x}=\frac{-2+8}{16-5(-2)}=\frac{6}{16+10}=\frac{6}{26}=\frac{3}{13}.
Portanto a base tende para \dfrac{3}{13}, que é um número positivo e estritamente menor que 1.

Passo 3

Agora avalio o limite do expoente quando x\to-2^{+}:
\lim_{x\to-2^{+}}\frac{x+1}{x+2}.
O numerador tende para -1 (pois -2+1=-1) e o denominador tende para 0 pela direita (pois x+2\to0^{+} quando x\to-2^{+}). Logo a razão tende para
\frac{-1}{0^{+}}=-\infty.
Ou seja, o expoente diverge para -\infty.

Passo 4

Interpretação qualitativa (sem formalizar com log ainda): a base tende a um número c=\dfrac{3}{13} com 0<c<1, e o expoente tende para -\infty. Lembrando que para 0<c<1 tem-se c^{-N}=(1/c)^{N} e 1/c>1, portanto ao fazer N\to+\infty obtemos crescimento sem limite. Isso sugere que o limite da potência será +\infty. Para deixar isso bem rigoroso e explicar a técnica que se usa em provas, vamos transformar tomando o logaritmo natural.
Defina
y(x)=\left(\frac{x+8}{16-5x}\right)^{\frac{x+1}{x+2}}.
Para estudar o limite de y(x) é comum tomar \ln y(x). Temos
\ln y(x)=\frac{x+1}{x+2}\,\ln\!\left(\frac{x+8}{16-5x}\right).
Já calculámos que
\lim_{x\to-2^{+}}\frac{x+1}{x+2}=-\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-2^{+}}\ln\!\left(\frac{x+8}{16-5x}\right)=\ln\!\left(\frac{3}{13}\right).
Como \dfrac{3}{13}\in(0,1), tem-se \ln\!\left(\dfrac{3}{13}\right)<0. Então estamos diante de um produto entre algo que tende a -\infty e uma constante negativa: -\infty vezes (constante negativa) dá +\infty. Mais precisamente,
\lim_{x\to-2^{+}}\ln y(x) = \left(\lim_{x\to-2^{+}}\frac{x+1}{x+2}\right)\cdot\left(\lim_{x\to-2^{+}}\ln\!\left(\frac{x+8}{16-5x}\right)\right) = (-\infty)\cdot\ln\!\left(\frac{3}{13}\right)=+\infty.

Passo 5

Se \ln y(x)\to+\infty, então y(x)=e^{\ln y(x)}\to e^{+\infty}. Portanto o limite da expressão original diverge para +\infty.
Intuição rápida e exemplo para fixar: pense em algo como \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-n}=2^{n}. Se n\to+\infty, a potência tende a +\infty. No problema dado, a base tende a \tfrac{3}{13}<1 e o expoente tende a -\infty, equivalente a um n\to+\infty no exemplo (pois (3/13)^{-N}=(13/3)^{N}) — daí o crescimento ilimitado.

Resposta

+\infty

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