Determine/ calcule:
\lim _{x \rightarrow 1} p(x)=

Passo 1

O enunciado pede calcular \lim_{x\rightarrow 1} p(x). Do gráfico fornecido (peguei as informações visualmente da imagem) retiro as informações relevantes para a região de interesse:
  • No gráfico a função está rotulada como f(x); vou assumir que p(x)=f(x) (mesma função).
  • Para valores de x entre 0 e 5 (isto é, para 0<x<5) o gráfico mostra um segmento horizontal com valor 4. Ou seja, para todo x com 0<x<5 tem-se f(x)=4. (Peguei essa informação da imagem.)
  • O ponto x=1 está dentro do intervalo (0,5), portanto localmente, ao redor de x=1, a função assume o valor constante 4 (exceto possivelmente no ponto isolado, mas pelo gráfico não há indicação de quebra em x=1).
    Estas são as informações que usarei para avaliar o limite.

Passo 2

O que significa calcular \lim_{x\to 1} p(x)?
  • Intuitivamente: quer-se o valor que p(x) (ou f(x)) se aproxima quando x chega cada vez mais perto de 1, sem necessariamente olhar para o valor da função exatamente em x=1.
  • Formalmente (esquema \varepsilon- \delta): um número L é o limite de f quando x\to1 se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
0<|x-1|<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon.
Vou usar a informação do gráfico para encontrar esse L.

Passo 3

Usando a informação visual: como 1\in(0,5) e para todo x\in(0,5) temos f(x)=4, existe uma vizinhança de 1 (por exemplo o intervalo (0,2), obtido tomando \delta=1) tal que para todo x com 0<|x-1|<1 vale f(x)=4. Então, para qualquer \varepsilon>0,
0<|x-1|<1 \quad\Rightarrow\quad |f(x)-4|=0<\varepsilon.
Isso satisfaz a condição \varepsilon- \delta com L=4. Intuitivamente: ao aproximar x de 1 a função permanece igual a 4, logo os valores de f(x) tendem a 4.

Passo 4

Portanto o limite existe e é igual a 4. (Mesmo que o valor da função exatamente em x=1 fosse diferente, o limite continua sendo 4 porque olhamos apenas nos valores quando x se aproxima de 1.)

Resposta

\;4

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