1. Calcule:
    \lim (x \rightarrow 2)\left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 2:
\lim_{x\to 2}\bigl(x^{2}+1\bigr).
Informações dadas:
  • A função cujo limite queremos é f(x)=x^{2}+1.
  • O ponto onde x se aproxima é x=2.
    Não há mais dados ocultos nem condições adicionais.

Passo 2

O que significa calcular \lim_{x\to 2}f(x)? Em palavras: queremos saber qual valor f(x) se aproxima quando x fica cada vez mais próximo de 2 (mas não necessariamente igual a 2). Para funções “simples” como polinômios, esse valor costuma ser exatamente o valor da função em 2, mas vamos justificar passo a passo.

Passo 3

Vamos usar regras básicas de limites (essas são ferramentas que sempre caem na prova):
  • Regra da soma: \displaystyle \lim_{x\to a}\bigl(g(x)+h(x)\bigr)=\lim_{x\to a}g(x)+\lim_{x\to a}h(x), desde que os limites existam.
  • Regra do produto: \displaystyle \lim_{x\to a}\bigl(g(x)\cdot h(x)\bigr)=\lim_{x\to a}g(x)\cdot\lim_{x\to a}h(x), quando os limites existem.
  • Limite de constante: \displaystyle \lim_{x\to a}c=c para qualquer constante c.
  • Limite da função identidade: \displaystyle \lim_{x\to a}x=a.
Essas regras permitem reduzir o cálculo de limites compostos a limites mais simples.

Passo 4

Aplicando a regra da soma ao nosso caso, temos que
\lim_{x\to 2}\bigl(x^{2}+1\bigr)=\lim_{x\to 2}x^{2}+\lim_{x\to 2}1.
Aqui usei a regra da soma; ambos os limites à direita existem (vou calculá-los a seguir).

Passo 5

Calcular \displaystyle \lim_{x\to 2}x^{2}. Escrevendo x^{2}=x\cdot x e aplicando a regra do produto:
\lim_{x\to 2}x^{2}=\lim_{x\to 2}x\cdot\lim_{x\to 2}x.
Pela regra da função identidade, \displaystyle \lim_{x\to 2}x=2. Logo
\lim_{x\to 2}x^{2}=2\cdot 2=4.

Passo 6

Calcular \displaystyle \lim_{x\to 2}1. Como 1 é constante, pela regra de constantes:
\lim_{x\to 2}1=1.

Passo 7

Somando os resultados obtidos:
\lim_{x\to 2}\bigl(x^{2}+1\bigr)=\lim_{x\to 2}x^{2}+\lim_{x\to 2}1=4+1=5.

Passo 8

Observação útil para a prova (dica prática): polinômios são funções contínuas em todo número real, portanto para polinômio p(x) vale \lim_{x\to a}p(x)=p(a). Aqui p(x)=x^{2}+1 e p(2)=2^{2}+1=5, chegando ao mesmo resultado de forma rápida. Mas quando usar essa dica, justifique que polinômios são contínuos (ou use as regras de limite como fizemos).

Resposta

5

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