Questão: ( 2.5 pontos) Um tanque contém 1000 L de água com 20 kg de sal dissolvido. Uma solução salina com
é bombeada para o tanque a
, e a mistura (homogeneizada) sai à mesma taxa. Determine:
a) (2 pontos) A quantidade de sal
no tanque após
minutos.
b) ( 0.5 pontos) A quantidade de sal após 1 hora ( 60 minutos).
a) (2 pontos) A quantidade de sal
b) ( 0.5 pontos) A quantidade de sal após 1 hora ( 60 minutos).
Passo 1
O enunciado descreve um problema de mistura de sal em um tanque de volume constante. Inicialmente há
L de água com
kg de sal dissolvido. Entra uma solução com
kg/L à vazão de
L/min e sai mistura à mesma vazão, garantindo volume constante. Vamos modelar esse cenário com uma equação diferencial para a quantidade de sal
.
Passo 2
Definimos
como a quantidade de sal (em kg) no tanque no instante
(em minutos).
- Taxa de entrada de sal: concentração
kg/L vazão L/min kg/min. - Taxa de saída de sal: concentração na mistura
kg/L vazão L/min kg/min.
Portanto a equação diferencial é
Passo 3
Para resolver
usamos fator integrante
. Multiplicando a DE por
obtemos
Integrando em
:
onde
é constante de integração.
Passo 4
Isolando
:
Usamos a condição inicial
:
Logo a solução é
Passo 5
Para
minutos,
Resposta
(a)
kg.
(b) kg.
(b)