Mostre que que a equação 4 x^{3}-3 x^{2}-12 x+9=0 possui três raízes reais distintas, usando - Teorema do Valor Intermediário.

Passo 1

O enunciado pede que se mostre, usando o Teorema do Valor Intermediário, que a equação 4x^{3}-3x^{2}-12x+9=0 possui três raízes reais distintas.
Informações dadas:
  • A equação é 4x^{3}-3x^{2}-12x+9=0.
  • Não há outras condições adicionais fornecidas.

Passo 2

Defino a função polinomial associada:
f(x)=4x^{3}-3x^{2}-12x+9.
Lembrete útil: polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Isso significa que o Teorema do Valor Intermediário (TVI) pode ser aplicado sobre qualquer intervalo [a,b].

Passo 3

Enunciado do Teorema do Valor Intermediário (em palavras simples): se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
Vamos usar o TVI encontrando vários intervalos em que f muda de sinal — cada mudança de sinal garante pelo menos uma raiz.

Passo 4

Calculo f(-2) e f(-1) passo a passo:
f(-2)=4(-2)^{3}-3(-2)^{2}-12(-2)+9.
(-2)^{3}=-8,\quad (-2)^{2}=4,
f(-2)=4\cdot(-8)-3\cdot4-12\cdot(-2)+9=-32-12+24+9=-11.
Portanto f(-2)=-11<0.
Agora f(-1):
f(-1)=4(-1)^{3}-3(-1)^{2}-12(-1)+9.
(-1)^{3}=-1,\quad (-1)^{2}=1,
f(-1)=4\cdot(-1)-3\cdot1-12\cdot(-1)+9=-4-3+12+9=14.
Portanto f(-1)=14>0.
Como f(-2)<0 e f(-1)>0, pelo TVI existe pelo menos uma raiz em (-2,-1).

Passo 5

Calculo f(0) e f(1):
f(0)=4\cdot0^{3}-3\cdot0^{2}-12\cdot0+9=9,
logo f(0)=9>0.
f(1)=4\cdot1^{3}-3\cdot1^{2}-12\cdot1+9=4-3-12+9=-2,
logo f(1)=-2<0.
Como f(0)>0 e f(1)<0, pelo TVI existe pelo menos uma raiz em (0,1).

Passo 6

Calculo f(2) e uso f(1) já calculado:
f(2)=4\cdot2^{3}-3\cdot2^{2}-12\cdot2+9=4\cdot8-3\cdot4-24+9=32-12-24+9=5,
logo f(2)=5>0. Lembrando que f(1)=-2<0, temos f(1)<0 e f(2)>0. Pelo TVI existe pelo menos uma raiz em (1,2).

Passo 7

Concluindo: encontramos, por aplicação do Teorema do Valor Intermediário, pelo menos uma raiz em cada um dos intervalos disjuntos (-2,-1), (0,1) e (1,2). Como esses intervalos não se sobrepõem, essas raízes são necessariamente distintas entre si. Além disso, um polinômio de grau 3 não pode ter mais de três raízes reais, então essas três raízes reais são todas as raízes reais da equação.

Resposta

A equação 4x^{3}-3x^{2}-12x+9=0 possui três raízes reais distintas, localizadas em (-2,-1), (0,1) e (1,2).

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