Mostre que que a equação
possui três raízes reais distintas, usando - Teorema do Valor Intermediário.
Passo 1
O enunciado pede que se mostre, usando o Teorema do Valor Intermediário, que a equação
possui três raízes reais distintas.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A equação é
. - Não há outras condições adicionais fornecidas.
Passo 2
Defino a função polinomial associada:
.
Lembrete útil: polinômios são funções contínuas em todo . Isso significa que o Teorema do Valor Intermediário (TVI) pode ser aplicado sobre qualquer intervalo
.
Lembrete útil: polinômios são funções contínuas em todo
Passo 3
Enunciado do Teorema do Valor Intermediário (em palavras simples): se
é contínua em
e
e
têm sinais opostos (ou seja,
), então existe pelo menos um
tal que
.
Vamos usar o TVI encontrando vários intervalos em que muda de sinal — cada mudança de sinal garante pelo menos uma raiz.
Vamos usar o TVI encontrando vários intervalos em que
Passo 4
Calculo
e
passo a passo:
Portanto
.
Agora
:
Portanto
.
Como
e
, pelo TVI existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 5
Calculo
e
:
logo
.
logo
.
Como
e
, pelo TVI existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 6
Calculo
e uso
já calculado:
logo
. Lembrando que
, temos
e
. Pelo TVI existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 7
Concluindo: encontramos, por aplicação do Teorema do Valor Intermediário, pelo menos uma raiz em cada um dos intervalos disjuntos
,
e
. Como esses intervalos não se sobrepõem, essas raízes são necessariamente distintas entre si. Além disso, um polinômio de grau
não pode ter mais de três raízes reais, então essas três raízes reais são todas as raízes reais da equação.
Resposta
A equação
possui três raízes reais distintas, localizadas em
,
e
.