Escolha um dos itens mostrados a continuação e encontre os vetores tangente, normal e binormal unitários da curva espacial dada por:
r(t)=(3 \cos (t), 3 \operatorname{sen}(t), 4 t), t \in \mathbb{R} no ponto (-3,0,4 \pi).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva espacial
r(t) = \bigl(3\cos(t),\;3\operatorname{sen}(t),\;4t\bigr)
e pede os vetores de Frenet—T, N e B unitários no ponto (-3,0,4\pi). Para isso vamos usar as definições
Tangent unitário: \displaystyle T=\frac{r'}{\|r'\|}
Normal unitário: \displaystyle N=\frac{T'}{\|T'\|}
Binormal unitário: \displaystyle B=T\times N.

Passo 2

Determinar o parâmetro t_0 tal que
r(t_0)=(-3,0,4\pi).
Das coordenadas x=3\cos(t_0)=-3 e y=3\operatorname{sen}(t_0)=0 segue \cos(t_0)=-1, \operatorname{sen}(t_0)=0, logo t_0=\pi. Verificamos ainda z=4t_0=4\pi, consistente.

Passo 3

Calcular a derivada
r'(t)=\bigl(-3\operatorname{sen}(t),\;3\cos(t),\;4\bigr)
e avaliar em t_0=\pi:
r'(\pi) = (0,-3,4).
Seu módulo é
\|r'(\pi)\| = \sqrt{0^2+(-3)^2+4^2}=5.
Logo o vetor tangente unitário é
T(\pi)=\frac{1}{5}(0,-3,4)=\bigl(0,-\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\bigr).

Passo 4

Calcular a segunda derivada
r''(t)=\bigl(-3\cos(t),\;-3\operatorname{sen}(t),\;0\bigr)
e em t=\pi:
r''(\pi) = (3,0,0).
Como r''(\pi) é perpendicular a r'(\pi), temos
T'(\pi)=\frac{r''(\pi)}{\|r'(\pi)\|} = \frac{1}{5}(3,0,0) = \bigl(\tfrac{3}{5},0,0\bigr),
cujo módulo é \tfrac{3}{5}. Portanto o vetor normal unitário é
N(\pi)=\frac{T'(\pi)}{\|T'(\pi)\|} = \bigl(1,0,0\bigr).

Passo 5

O binormal é o produto vetorial
B(\pi) \;=\; T(\pi)\times N(\pi) \;=\;(0,-\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5})\times(1,0,0) \;=\;\bigl(0,\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\bigr).

Resposta

T(\pi)=\bigl(0,-\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\bigr) N(\pi)=\bigl(1,0,0\bigr) B(\pi)=\bigl(0,\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\bigr)

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