Calcule \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to 0} x^{2}\,\sin\!\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right).
  • A função considerada é x^{2}\sin\!\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\right). Note que o argumento do seno é \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}, que fica muito grande (tende a \pm\infty) quando x\to 0, mas isso não nos dá um valor único para o seno — o seno oscila.
  • Informação útil que podemos usar: para todo número real u vale |\sin u|\le 1.

Passo 2

Explicar a ideia que vamos usar (teorema do confronto) de forma bem básica:
  • O teorema do confronto diz, em palavras simples: se uma função g(x) fica sempre entre duas funções f(x) e h(x) próximas de um ponto e se \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L, então \lim_{x\to a} g(x)=L.
  • Vou aplicar esse raciocínio usando as desigualdades para o seno. Primeiro escrevo a desigualdade conhecida como valor absoluto: |\sin u|\le 1\quad\text{para todo }u\in\mathbb{R}.

Passo 3

Aplicar a desigualdade ao nosso caso:
  • Substituindo u=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} (válido para x\neq 0), obtemos \left|\sin\!\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)\right|\le 1.
  • Multiplicando ambos os lados por x^{2} (que é não negativo), fica x^{2}\left|\sin\!\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)\right|\le x^{2}.
  • Isso equivale à desigualdade em termos da própria função: -x^{2}\le x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)\le x^{2}.

Passo 4

Calcular os limites das funções que “apertam” a nossa função (as bordas do aperto):
  • As funções de borda são -x^{2} e x^{2}.
  • Como polinômios simples, ambos têm limite zero quando x\to 0: \lim_{x\to 0} x^{2}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0} (-x^{2})=0.

Passo 5

Aplicar o teorema do confronto e concluir:
  • Pelo teorema do confronto, como para x próximos de 0 temos -x^{2}\le x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)\le x^{2},e as duas funções de borda convergem para o mesmo limite 0, segue que \lim_{x\to 0} x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)=0.

Passo 6

Um comentário extra (opcional) para fixar o raciocínio usando troca de variável:
  • Se fizer a substituição t=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} então x=\dfrac{1}{t^{3}} e, quando x\to 0, tem-se t\to\pm\infty. A função fica x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)=\frac{1}{t^{6}}\sin t.
  • Como \left|\dfrac{1}{t^{6}}\sin t\right|\le \dfrac{1}{t^{6}} e \dfrac{1}{t^{6}}\to 0 quando |t|\to\infty, conclui-se também que o limite é 0. É a mesma ideia do confronto, só reescrita com outra variável.

Resposta

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