Calcule
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular o limite
. - A função considerada é
. Note que o argumento do seno é , que fica muito grande (tende a ) quando , mas isso não nos dá um valor único para o seno — o seno oscila. - Informação útil que podemos usar: para todo número real
vale .
Passo 2
Explicar a ideia que vamos usar (teorema do confronto) de forma bem básica:
- O teorema do confronto diz, em palavras simples: se uma função
fica sempre entre duas funções e próximas de um ponto e se , então . - Vou aplicar esse raciocínio usando as desigualdades para o seno. Primeiro escrevo a desigualdade conhecida como valor absoluto:
Passo 3
Aplicar a desigualdade ao nosso caso:
- Substituindo
(válido para ), obtemos - Multiplicando ambos os lados por
(que é não negativo), fica - Isso equivale à desigualdade em termos da própria função:
Passo 4
Calcular os limites das funções que “apertam” a nossa função (as bordas do aperto):
- As funções de borda são
e . - Como polinômios simples, ambos têm limite zero quando
:
Passo 5
Aplicar o teorema do confronto e concluir:
- Pelo teorema do confronto, como para
próximos de temos e as duas funções de borda convergem para o mesmo limite , segue que
Passo 6
Um comentário extra (opcional) para fixar o raciocínio usando troca de variável:
- Se fizer a substituição
então e, quando , tem-se . A função fica - Como
e quando , conclui-se também que o limite é . É a mesma ideia do confronto, só reescrita com outra variável.