Considere o campo de vetores:
Calcule o trabalho de
ao longo da curva parametrizada
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o trabalho realizado pelo campo de vetores
ao longo da curva parametrizada
,
. Em termos de integral de linha, queremos
Informações dadas:
Passo 2
Observação útil (ideia que facilita muito): tente achar uma função potencial
tal que
. Se existir um
com essa propriedade, então a integral de linha entre dois pontos depende só dos extremos, e
Proponho a função
onde
é a notação curta para a distância ao origem. Vou verificar que
.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais de
. Usamos a regra da cadeia:
e
. Logo
Analogamente
Portanto
Concluímos que
é gradiente de
na região onde
(isto é, fora da origem). Como a curva
nunca passa pela origem (
para todo
), podemos usar essa potencial para calcular o trabalho.
Passo 4
Aplicando a propriedade do potencial: o trabalho é a diferença de
entre o ponto final
e o ponto inicial
. Primeiro obtemos os extremos da curva:
Agora os módulos (distâncias ao origem):
Passo 5
A diferença de potencial é
Note que
, então a expressão acima já contém toda a informação necessária para a resposta final.
Passo 6
Verificação alternativa (didática): podemos também calcular diretamente a integral paramétrica para ver como as contas se simplificam. Primeiro
. Então
O produto escalar é
pois
. Portanto
confirmando o resultado obtido pelo potencial.