Considere o campo de vetores:
\vec{F}(x, y, z)=\frac{k(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k})}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
Calcule o trabalho de \vec{F} ao longo da curva parametrizada \vec{\gamma}(t)=(\cos t, \sin t, t), t \in[0,2 \pi].

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o trabalho realizado pelo campo de vetores \vec{F} ao longo da curva parametrizada \vec{\gamma}(t)=(\cos t,\sin t,t), t\in[0,2\pi]. Em termos de integral de linha, queremos
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{2\pi}\vec{F}(\vec{\gamma}(t))\cdot\vec{\gamma}'(t)\,dt.
Informações dadas:
\vec{F}(x,y,z)=\frac{k(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \qquad \vec{\gamma}(t)=(\cos t,\sin t,t),\qquad t\in[0,2\pi].

Passo 2

Observação útil (ideia que facilita muito): tente achar uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\vec{F}. Se existir um \varphi com essa propriedade, então a integral de linha entre dois pontos depende só dos extremos, e
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(\text{ponto final})-\varphi(\text{ponto inicial}).
Proponho a função
\varphi(x,y,z)=k\ln\!\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\bigr)=k\ln r,
onde \;r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\; é a notação curta para a distância ao origem. Vou verificar que \nabla\varphi=\vec{F}.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais de \varphi. Usamos a regra da cadeia: \partial_x\ln r=(1/r)\partial_x r e \partial_x r=\partial_x\sqrt{x^2+y^2+z^2}=x/r. Logo
\partial_x\varphi=k\cdot\frac{1}{r}\cdot\frac{x}{r}=k\frac{x}{r^{2}}.
Analogamente
\partial_y\varphi=k\frac{y}{r^{2}},\qquad \partial_z\varphi=k\frac{z}{r^{2}}.
Portanto
\nabla\varphi=\left(k\frac{x}{r^{2}},\,k\frac{y}{r^{2}},\,k\frac{z}{r^{2}}\right)=\vec{F}(x,y,z).
Concluímos que \vec{F} é gradiente de \varphi na região onde r>0 (isto é, fora da origem). Como a curva \vec{\gamma}(t) nunca passa pela origem ( |\vec{\gamma}(t)|>0 para todo t), podemos usar essa potencial para calcular o trabalho.

Passo 4

Aplicando a propriedade do potencial: o trabalho é a diferença de \varphi entre o ponto final \vec{\gamma}(2\pi) e o ponto inicial \vec{\gamma}(0). Primeiro obtemos os extremos da curva:
\vec{\gamma}(0)=(\cos 0,\sin 0,0)=(1,0,0), \qquad \vec{\gamma}(2\pi)=(\cos 2\pi,\sin 2\pi,2\pi)=(1,0,2\pi).
Agora os módulos (distâncias ao origem):
|\vec{\gamma}(0)|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+0^{2}}=1, \qquad |\vec{\gamma}(2\pi)|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+(2\pi)^{2}}=\sqrt{1+4\pi^{2}}.

Passo 5

A diferença de potencial é
\varphi(\vec{\gamma}(2\pi))-\varphi(\vec{\gamma}(0)) = k\ln\bigl(|\vec{\gamma}(2\pi)|\bigr)-k\ln\bigl(|\vec{\gamma}(0)|\bigr) = k\ln\!\bigl(\sqrt{1+4\pi^{2}}\bigr)-k\ln 1.
Note que \ln 1=0, então a expressão acima já contém toda a informação necessária para a resposta final.

Passo 6

Verificação alternativa (didática): podemos também calcular diretamente a integral paramétrica para ver como as contas se simplificam. Primeiro \vec{\gamma}'(t)=(-\sin t,\cos t,1). Então
\vec{F}(\vec{\gamma}(t))=\frac{k(\cos t,\sin t,t)}{\,\cos^{2}t+\sin^{2}t+t^{2}\,}=\frac{k(\cos t,\sin t,t)}{1+t^{2}}.
O produto escalar é
\vec{F}(\vec{\gamma}(t))\cdot\vec{\gamma}'(t) =\frac{k\bigl(\cos t(-\sin t)+\sin t\cos t+t\cdot 1\bigr)}{1+t^{2}} =\frac{k\,t}{1+t^{2}},
pois \cos t(-\sin t)+\sin t\cos t=0. Portanto
\int_{0}^{2\pi}\vec{F}(\vec{\gamma}(t))\cdot\vec{\gamma}'(t)\,dt = k\int_{0}^{2\pi}\frac{t}{1+t^{2}}\,dt = \frac{k}{2}\left[\ln(1+t^{2})\right]_{0}^{2\pi} = k\ln\!\bigl(\sqrt{1+4\pi^{2}}\bigr),
confirmando o resultado obtido pelo potencial.

Resposta

\dfrac{k}{2}\ln\bigl(1+4\pi^{2}\bigr)

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