Calcule
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(4 x^{2}-7 x+3\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\left(4x^{2}-7x+3\right).
Informações dadas:
  • A função cujo limite se pede é o polinômio 4x^{2}-7x+3.
  • O ponto onde o limite é tomado é x\to+\infty.
    O que precisamos responder: determinar o comportamento da expressão quando x cresce sem limite (se converge para um número finito ou diverge para +\infty ou -\infty).

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): em um polinômio, quando x\to+\infty os termos de maior grau dominam o crescimento. Ou seja, para P(x)=a_n x^n+ termos de grau menor, o comportamento assintótico é como a_n x^n. Vou mostrar isso de forma clara e rigorosa para esta expressão.

Passo 3

Fatorar o termo de maior potência para evidenciar o comportamento dominante. Colocando x^{2} em evidência:
4x^{2}-7x+3 = x^{2}\left(4-\frac{7}{x}+\frac{3}{x^{2}}\right).

Passo 4

Analisar o limite da parte entre parênteses. Sabemos que quando x\to+\infty valem
\lim_{x\to+\infty}\frac{7}{x}=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{3}{x^{2}}=0,
porque \tfrac{1}{x}\to0 e \tfrac{1}{x^{2}}\to0. Então, pela propriedade de limites (soma e produto por constantes),
\lim_{x\to+\infty}\left(4-\frac{7}{x}+\frac{3}{x^{2}}\right)=4.

Passo 5

Agora combinamos os resultados. Temos \lim_{x\to+\infty}x^{2}=+\infty e a parte entre parênteses tende a 4>0. Intuitivamente, um fator que cresce sem limite multiplicado por um fator que tende a uma constante positiva faz o produto crescer sem limite, logo o limite é +\infty.
Para ficar mais rigoroso: escolha x>7. Então \tfrac{7}{x}<1 e \tfrac{3}{x^{2}}>0, portanto
4-\frac{7}{x}+\frac{3}{x^{2}}>4-1+0=3.
Assim, para x>7 vale
4x^{2}-7x+3 = x^{2}\left(4-\frac{7}{x}+\frac{3}{x^{2}}\right) > 3x^{2}.
Como \lim_{x\to+\infty}3x^{2}=+\infty, por desigualdade (se uma função é eventualment maior que outra cuja limite é +\infty, então sua limite também é +\infty), concluímos que
\lim_{x\to+\infty}\left(4x^{2}-7x+3\right)=+\infty.

Resposta

+\infty

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