Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A função cujo limite se pede é o polinômio
. - O ponto onde o limite é tomado é
.
O que precisamos responder: determinar o comportamento da expressão quandocresce sem limite (se converge para um número finito ou diverge para ou ).
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): em um polinômio, quando
os termos de maior grau dominam o crescimento. Ou seja, para
termos de grau menor, o comportamento assintótico é como
. Vou mostrar isso de forma clara e rigorosa para esta expressão.
Passo 3
Fatorar o termo de maior potência para evidenciar o comportamento dominante. Colocando
em evidência:
Passo 4
Analisar o limite da parte entre parênteses. Sabemos que quando
valem
porque
e
. Então, pela propriedade de limites (soma e produto por constantes),
Passo 5
Agora combinamos os resultados. Temos
e a parte entre parênteses tende a
. Intuitivamente, um fator que cresce sem limite multiplicado por um fator que tende a uma constante positiva faz o produto crescer sem limite, logo o limite é
.
Para ficar mais rigoroso: escolha
. Então
e
, portanto
Assim, para
vale
Como
, por desigualdade (se uma função é eventualment maior que outra cuja limite é
, então sua limite também é
), concluímos que