Calcule
lim x 0 sen(pi x)sen(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0 sen(pi x)sen(3 x). A gente está trabalhando com limites em funções trigonométricas, especificamente com seno. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como o seno se comporta quando o ângulo é bem pequeno, tipo próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o que acontece com o seno quando o ângulo é pequeno. Sabemos que, para valores próximos de zero, sen(k x) approx k x. Isso significa que podemos aproximar sen(pi x) por pi x e sen(3x) por 3x quando x está perto de zero.

Passo 3

Agora, substituímos essas aproximações na nossa expressão original:
sen(pi x)sen(3 x) approx pi x3 x
Perceba que os termos x no numerador e no denominador se cancelam.

Passo 4

Depois de cancelar os x, fica assim:
pi3
Isso significa que, conforme x se aproxima de zero, a expressão sen(pi x)sen(3 x) se aproxima de pi3.

Resposta

O limite é pi3.

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