Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
f(x, y)= e^(1r^2-1) & se r<1 onde r=|(x, y)| 0 & se r >= 1

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= exp!(1r^2-1),&r<1,[6pt] 0,&r>=1, onde r=raizx^2+y^2
O conteúdo é continuidade de função definida por partes e composição de funções contínuas. Vamos mostrar que f é contínua em todo ponto de R^2.]

Passo 2

Considere um ponto (x,y) com r<1. A norma r=raizx^2+y^2 é contínua, assim como as funções
tmapsto t^2, tmapsto t-1, tmapsto tfrac1t, tmapsto e^t
Como f(x,y)=exp!l(1/(r^2-1)r) é composição dessas funções num intervalo onde r^2-1neq0, conclui-se que f é contínua em todos os pontos com r<1.

Passo 3

Para um ponto com r>1, temos f(x,y)=0, uma função constante. Logo f é contínua em todos os pontos com r>1.

Passo 4

Falta verificar continuidade no contorno r=1. Se |(x,y)|=1, então por defini­ção f(x,y)=0. Ao aproximar-se desse ponto por (xn,yn) com |(xn,yn)|>=1, f(xn,yn)=0. Ao aproximar-se por |(xn,yn)|<1, nota-se que
rn^2-1to0^-Longrightarrow 1rn^2-1to -infty Longrightarrow exp!(1rn^2-1)to0
Em ambas as aproximações o valor de f(xn,yn) tende a 0, que é f(x,y). Logo f é contínua também para todo ponto com r=1.

Resposta

O conjunto de continuidade de f é todo R^2.

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