Exercícios: Regras da Cadeia, Derivadas Direcionais, Gradientes, Planos Tangentes e Retas Normais
Ache o gradiente de f(x, y)=x ln (x y) em P(5,4).

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o gradiente da função f(x, y) = x ln(x y) no ponto P(5, 4) . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e vetores gradiente, que nos ajudam a entender a taxa de variação da função em diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função f(x, y) é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a x e y . Ou seja,
nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y )

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x . A função é f(x, y) = x ln(x y) .
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
partial fpartial x = ln(x y) + x cdot 1x y cdot y = ln(x y) + 1

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial fpartial y .
Novamente, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
partial fpartial y = x cdot 1x y cdot x = xx y = 1y

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, o gradiente da função é:
nabla f(x, y) = ( ln(x y) + 1, 1y )

Passo 6

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto P(5, 4) :
Primeiro, calculamos ln(5 times 4) = ln(20) .
Então,
nabla f(5, 4) = ( ln(20) + 1, 14 )

Resposta

O gradiente de f(x, y) = x ln(x y) no ponto P(5, 4) é:
nabla f(5, 4) = ( ln(20) + 1, 14 )

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