Exercícios: Regras da Cadeia, Derivadas Direcionais, Gradientes, Planos Tangentes e Retas Normais
Ache o gradiente de
em
.
Ache o gradiente de
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o gradiente da função
no ponto
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e vetores gradiente, que nos ajudam a entender a taxa de variação da função em diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
. Ou seja,
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função é
.
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 5
Com as derivadas parciais encontradas, o gradiente da função é:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Primeiro, calculamos
.
Então,
Resposta
O gradiente de
no ponto
é: