Exercícios: Regras da Cadeia, Derivadas Direcionais, Gradientes, Planos Tangentes e Retas Normais
Calcule partial zpartial x e partial zpartial y se z=f(x, y) é definida implicitamente pela equação 2 x z^3-3 y z^2+x^2 y^2+4 z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y para a função z = f(x, y) que está definida de forma implícita pela equação 2x z^3 - 3y z^2 + x^2 y^2 + 4z = 0.
Conteúdo da matéria: Regras da Cadeia, Derivadas Implícitas.
O que vamos precisar: Vamos usar a derivada implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando a função não está isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a derivada em relação a x em ambos os lados da equação. Lembre-se que z é uma função de x e y, então usamos a regra da cadeia.
Diferenciando cada termo:
ddx(2x z^3) - ddx(3y z^2) + ddx(x^2 y^2) + ddx(4z) = ddx(0)

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada:
  1. Para 2x z^3:
    • Use a regra do produto: ddx(u cdot v) = u' cdot v + u cdot v'.
    • u = 2x u' = 2
    • v = z^3 v' = 3z^2 partial zpartial x
    • Então, ddx(2x z^3) = 2 cdot z^3 + 2x cdot 3z^2 partial zpartial x = 2z^3 + 6x z^2 partial zpartial x
  2. Para -3y z^2:
    • y é tratado como constante em relação a x.
    • ddx(-3y z^2) = -3y cdot 2z partial zpartial x = -6y z partial zpartial x
  3. Para x^2 y^2:
    • ddx(x^2 y^2) = 2x y^2
  4. Para 4z:
    • ddx(4z) = 4 partial zpartial x

Passo 4

Colocando tudo junto:
2z^3 + 6x z^2 partial zpartial x - 6y z partial zpartial x + 2x y^2 + 4 partial zpartial x = 0

Passo 5

Agora, vamos isolar partial zpartial x. Vamos agrupar os termos que contêm partial zpartial x:
(6x z^2 - 6y z + 4) partial zpartial x = -2z^3 - 2x y^2

Passo 6

Dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando partial zpartial x:
partial zpartial x = -2z^3 - 2x y^26x z^2 - 6y z + 4

Passo 7

Podemos simplificar tirando o fator comum 2 no numerador:
partial zpartial x = -2(z^3 + x y^2)6x z^2 - 6y z + 4
Podemos também fatorar o 2 do denominador se quisermos, mas é opcional.

Passo 8

Agora, vamos repetir o processo para encontrar partial zpartial y. Vamos diferenciar a equação original em relação a y:
ddy(2x z^3) - ddy(3y z^2) + ddy(x^2 y^2) + ddy(4z) = ddy(0)

Passo 9

Calculando cada derivada:
  1. Para 2x z^3:
    • x é tratado como constante em relação a y.
    • ddy(2x z^3) = 2x cdot 3z^2 partial zpartial y = 6x z^2 partial zpartial y
  2. Para -3y z^2:
    • Use a regra do produto.
    • ddy(-3y z^2) = -3z^2 - 3y cdot 2z partial zpartial y = -3z^2 - 6y z partial zpartial y
  3. Para x^2 y^2:
    • ddy(x^2 y^2) = x^2 cdot 2y = 2x^2 y
  4. Para 4z:
    • ddy(4z) = 4 partial zpartial y

Passo 10

Juntando tudo:
6x z^2 partial zpartial y - 3z^2 - 6y z partial zpartial y + 2x^2 y + 4 partial zpartial y = 0

Passo 11

Vamos isolar partial zpartial y:
(6x z^2 - 6y z + 4) partial zpartial y = 3z^2 - 2x^2 y

Passo 12

Dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando partial zpartial y:
partial zpartial y = 3z^2 - 2x^2 y6x z^2 - 6y z + 4

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -2(z^3 + x y^2)6x z^2 - 6y z + 4
e
partial zpartial y = 3z^2 - 2x^2 y6x z^2 - 6y z + 4

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