Exercícios: Regras da Cadeia, Derivadas Direcionais, Gradientes, Planos Tangentes e Retas Normais
Calcule
e
se
é definida implicitamente pela equação
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais
e
para a função
que está definida de forma implícita pela equação
.
Conteúdo da matéria: Regras da Cadeia, Derivadas Implícitas.
O que vamos precisar: Vamos usar a derivada implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando a função não está isolada.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a derivada em relação a
em ambos os lados da equação. Lembre-se que
é uma função de
e
, então usamos a regra da cadeia.
Diferenciando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada:
-
Para
: - Use a regra do produto:
. -
⇒ -
⇒ - Então,
- Use a regra do produto:
-
Para
: -
é tratado como constante em relação a . -
-
-
Para
: -
-
Para
: -
Passo 4
Colocando tudo junto:
Passo 5
Agora, vamos isolar
. Vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 6
Dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando
:
Passo 7
Podemos simplificar tirando o fator comum 2 no numerador:
Podemos também fatorar o 2 do denominador se quisermos, mas é opcional.
Passo 8
Agora, vamos repetir o processo para encontrar
. Vamos diferenciar a equação original em relação a
:
Passo 9
Calculando cada derivada:
-
Para
: -
é tratado como constante em relação a . -
-
-
Para
: - Use a regra do produto.
-
-
Para
: -
-
Para
: -
Passo 10
Juntando tudo:
Passo 11
Vamos isolar
:
Passo 12
Dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e