Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.
integral 1raiz1-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 1raiz1 - x^2,dx
Esse é um caso clássico que pode ser resolvido por substituição trigonométrica ou reconhecendo que a derivada de arcsin(x) é exatamente 1/raiz1 - x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica
x = sin(theta),
então
dx = cos(theta),dtheta e raiz1 - x^2 = raiz1 - sin^2(theta) = cos(theta)
Substituindo na integral original:
integral 1raiz1 - x^2,dx = integral 1cos(theta)l(cos(theta),dthetar) = integral 1,dtheta

Passo 3

A integral em theta fica simples:
integral 1,dtheta = theta + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Volta-se à variável x. Como x = sin(theta), temos theta = arcsin(x). Logo,
integral 1raiz1 - x^2,dx = arcsin(x) + C

Passo 5

Para conferir, derivamos o resultado:
ddxl[arcsin(x)+Cr] = 1raiz1 - x^2,
que é exatamente o integrando inicial. Assim, a conta está correta.

Resposta

integral 1raiz1 - x^2,dx = arcsin(x) + C

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