Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de
, tal que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite no infinito, que existe
e determinar esse valor. O conteúdo envolvido é o conceito de limite de função quando
tende a infinito e a própria definição
–
.
Passo 2
A definição de limite no infinito diz: dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
, temos
Passo 3
Para nossa função escolhemos o candidato
Precisamos estimar
Passo 4
Note que, para
x>1 , temos
logo
Queremos
tfrac2x<varepsilon , ou seja,
x>2/varepsilon .
Passo 5
Basta então escolher
Para todo
x>M temos simultaneamente
x>1 (garantindo a estimativa acima) e
x>2/varepsilon , de onde
Isso prova, pela definição
varepsilon –
M , que