Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de f(x), tal que
lim x infty xx^2-1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite no infinito, que existe
limxtoinftyxx^2-1
e determinar esse valor. O conteúdo envolvido é o conceito de limite de função quando x tende a infinito e a própria definição varepsilon M.

Passo 2

A definição de limite no infinito diz: dizemos que
limxtoinftyf(x)=L
se, para todo varepsilon>0, existe M>0 tal que, sempre que x>M, temos
l|f(x)-Lr|<varepsilon

Passo 3

Para nossa função escolhemos o candidato
L=0
Precisamos estimar
l|xx^2-1-0r| =|x||x^2-1|

Passo 4

Note que, para x>1, temos
x^2-1>x^2-tfrac12x^2=tfrac12x^2,
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|x||x^2-1| <xtfrac12x^2 =2x
Queremos tfrac2x<varepsilon, ou seja, x>2/varepsilon.

Passo 5

Basta então escolher
M=maxl1,2varepsilonr
Para todo x>M temos simultaneamente x>1 (garantindo a estimativa acima) e x>2/varepsilon, de onde
l|xx^2-1-0r|<2x<varepsilon
Isso prova, pela definição varepsilon M, que
limxtoinftyxx^2-1=0

Resposta

0

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