Considere o polinômio
f(x)=x4-142x3+5042x2-142x+5041
O mdc (máximo divisor comum) entre
f(x) e sua derivada f’(x) é:
Questão 4
Resposta
x-72
x-71
x-73
x-70
x-74

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
f(x)=x^4-142x^3+5042x^2-142x+5041
e pede o mdc(f,f'). Vamos usar o fato de que o mdc(f,f') é o polinômio cujas raízes são exatamente as raízes múltiplas de f.

Passo 2

Primeiro, anoto a derivada
f'(x)=4x^3-426x^2+10084x-142,
Em seguida, lembro que uma raiz r é múltipla em f se e só se f(r)=0 e f'(r)=0. Logo, para achar o mdc, basta identificar as raízes repetidas de f.

Passo 3

Para descobrir as raízes, fatoro f(x) por tentativa de quadráticas. Procuro
f(x)=(x^2+1)(x^2-142x+5041)
De fato, ao multiplicar essas duas quadráticas obtém-se
x^4-142x^3+(1cdot5041+1)x^2-142x+5041 =x^4-142x^3+5042x^2-142x+5041,
confirmando a fatoração.

Passo 4

A quadrática x^2+1 tem raízes simples pm i. Já
x^2-142x+5041
tem discriminante
De<a=142^2-4cdot5041=20164-20164=0,
logo possui uma raiz real dupla
x=1422=71
Portanto
f(x)=(x^2+1),(x-71)^2
e a única raiz múltipla é x=71.

Resposta

x-71

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