Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Esse exercício envolve cálculo de limites e integrais definidas. Vamos precisar usar algumas técnicas de limite, especialmente quando temos uma forma que parece indeterminada, como 0/0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando $ x $ se aproxima de 3. No termo
, o denominador $ x - 3 $ tende a 0, o que sugere que estamos lidando com uma situação delicada. Além disso, a integral
também tende a 0 quando $ x $ se aproxima de 3, porque o intervalo de integração está estreitando para um único ponto.
Passo 3
Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo
. Nesses casos, uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente para encontrar o limite.
Passo 4
Antes de aplicar a Regra de L’Hôpital, vamos definir uma função para simplificar:
Assim, nosso limite fica:
Passo 5
Agora, para aplicar a Regra de L’Hôpital, precisamos diferenciar o numerador e o denominador em relação a $ x $. Mas antes disso, vamos entender como diferenciar a função $ f(x) $.
Passo 6
Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ é:
Isso porque a derivada de uma integral definida com limite superior variável é simplesmente a função integranda avaliada nesse limite.
Passo 7
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
- Numerador: $ x \cdot f(x) $
- Usamos a regra do produto: $ (x \cdot f(x))’ = f(x) + x \cdot f’(x) $
- Denominador: $ x - 3 $
- A derivada é simplesmente 1.
Passo 8
Portanto, o limite fica:
Simplificando, percebemos que $ x $ se cancela:
Passo 9
Agora, vamos avaliar cada parte do limite separadamente:
- $ \lim {x \rightarrow 3} f(x) = \int{3}^{3} \frac{\operatorname{sen}(t)}{t} , dt = 0 $ (porque a integral de um intervalo com limites iguais é zero)
- $ \lim _{x \rightarrow 3} \operatorname{sen}(x) = \operatorname{sen}(3) $
Passo 10
Assim, o limite total é:
Resposta
O limite é igual a $ \operatorname{sen}(3) $.