Calcule
lim x 3(xx-3 integral3^x sen(t)t d t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 3(xx-3 integral3^x sen(t)t , dt)
Esse exercício envolve cálculo de limites e integrais definidas. Vamos precisar usar algumas técnicas de limite, especialmente quando temos uma forma que parece indeterminada, como 0/0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando $ x $ se aproxima de 3. No termo x , o denominador $ x - 3 $ tende a 0, o que sugere que estamos lidando com uma situação delicada. Além disso, a integral xx-3 também tende a 0 quando $ x $ se aproxima de 3, porque o intervalo de integração está estreitando para um único ponto.

Passo 3

Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo 00. Nesses casos, uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente para encontrar o limite.

Passo 4

Antes de aplicar a Regra de L’Hôpital, vamos definir uma função para simplificar:
f(x) = integral3^x sen(t)t , dt
Assim, nosso limite fica:
lim x 3(xx-3 cdot f(x))

Passo 5

Agora, para aplicar a Regra de L’Hôpital, precisamos diferenciar o numerador e o denominador em relação a $ x $. Mas antes disso, vamos entender como diferenciar a função $ f(x) $.

Passo 6

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ é:
f(x)
Isso porque a derivada de uma integral definida com limite superior variável é simplesmente a função integranda avaliada nesse limite.

Passo 7

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
  • Numerador: $ x \cdot f(x) $
    • Usamos a regra do produto: $ (x \cdot f(x))’ = f(x) + x \cdot f’(x) $
  • Denominador: $ x - 3 $
    • A derivada é simplesmente 1.

Passo 8

Portanto, o limite fica:
lim x 3 f(x) + x cdot f'(x)1 = lim x 3 (f(x) + x cdot sen(x)x)
Simplificando, percebemos que $ x $ se cancela:
x

Passo 9

Agora, vamos avaliar cada parte do limite separadamente:
  • $ \lim {x \rightarrow 3} f(x) = \int{3}^{3} \frac{\operatorname{sen}(t)}{t} , dt = 0 $ (porque a integral de um intervalo com limites iguais é zero)
  • $ \lim _{x \rightarrow 3} \operatorname{sen}(x) = \operatorname{sen}(3) $

Passo 10

Assim, o limite total é:
0 + sen(3) = sen(3)

Resposta

O limite é igual a $ \operatorname{sen}(3) $.

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