Calcule:
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{(x-1)^{\frac{4}{3}}-(y-1)^{\frac{4}{3}}}{(x-1)^{\frac{2}{3}}+(y-1)^{\frac{2}{3}}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{(x-1)^{\frac{4}{3}}-(y-1)^{\frac{4}{3}}}{(x-1)^{\frac{2}{3}}+(y-1)^{\frac{2}{3}}}.
Isso é uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Vamos usar fatoração de diferença de quadrados e a continuidade das funções envolvidas.

Passo 2

Defina
a=(x-1)^{\frac{2}{3}} \quad\text{e}\quad b=(y-1)^{\frac{2}{3}}.
Então (x-1)^{\frac{4}{3}}=a^2 e (y-1)^{\frac{4}{3}}=b^2.

Passo 3

Reescrevendo a fração em termos de a e b, temos
\frac{a^2-b^2}{a+b} =\frac{(a-b)(a+b)}{a+b} =a-b.

Passo 4

Quando (x,y)\to(1,1), temos a\to0 e b\to0. Logo
a-b\;\longrightarrow\;0-0=0.

Resposta

0

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