Q1.

Considere a função:
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x^{2}}+3 b x, & x<1 \\\ a x^{2}+b x+1, & x \geq 1\end{cases}
Determine a, b para f(x) ser diferenciável em x=1.
(a) a=-2, b=-1
(b) a=3, b=1
(c) qualquer a, b \operatorname{com} b=a+1
(d) não existem tais a, b

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x^{2}}+3b\,x, & x<1,\\[6pt] a\,x^{2}+b\,x+1, & x\ge1, \end{cases}
e pede a,b para f ser diferenciável em x=1. Para isso precisamos de continuidade em x=1 e de derivadas laterais iguais em x=1.]

Passo 2

Impondo continuidade em x=1:
o limite pela esquerda é
f(1^-)=1+3b
e o valor pela direita é
f(1^+)=a+b+1.
Como f(1^-)=f(1^+), vem
1+3b = a+b+1 \quad\Longrightarrow\quad a = 2b.

Passo 3

Agora igualamos as derivadas laterais em x=1. Para x<1
f'(x) = -\frac{2}{x^3}+3b \quad\Longrightarrow\quad f'(1^-)= -2+3b.
Para x\ge1
f'(x) = 2a\,x+b \quad\Longrightarrow\quad f'(1^+)= 2a+b.
Como f'(1^-)=f'(1^+), obtemos
-2+3b = 2a+b \quad\Longrightarrow\quad a = b-1.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} a = 2b,\\\ a = b-1, \end{cases}
substituímos a=2b em 2b = b-1 e achamos
b=-1, \quad a=2(-1)=-2.

Resposta

(a)

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