Q2.

Para quais a \in \mathbb{R} :
\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{x}{(x-2)(x+2)}=+\infty ?
(a) a=2 e a=-2
(b) apenas a=-2
(c) apenas a=2
(d) nenhum valor de a

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de a\in\mathbb{R} tais que
\lim_{x\to a^{+}}\frac{x}{(x-2)(x+2)} = +\infty.
O conteúdo aqui é identificar pontos de descontinuidade (zeros do denominador) e analisar o sinal do numerador e do denominador ao aproximar-se pela direita.

Passo 2

Primeiro, a função
f(x)=\frac{x}{(x-2)(x+2)}
só pode divergir para \pm\infty em pontos onde o denominador se anula, ou seja, em x=2 e x=-2. Logo, os candidatos são a=2 e a=-2.

Passo 3

Analisando \lim_{x\to 2^{+}}f(x):
  • Para x pouco maior que 2, o numerador x é positivo (aproximadamente 2^{+}).
  • O fator (x-2) é positivo e muito pequeno.
  • O fator (x+2) é positivo (aproximadamente 4).
    Portanto o denominador (x-2)(x+2) é positivo e tende a 0^{+}. Assim
\frac{x}{(x-2)(x+2)}\;\longrightarrow\;+\infty
quando x\to2^{+}.

Passo 4

Analisando \lim_{x\to -2^{+}}f(x):
  • Para x pouco maior que -2, o numerador x é negativo (aproximadamente -2^{+}).
  • O fator (x+2) é positivo e muito pequeno.
  • O fator (x-2) é negativo (aproximadamente -4).
    Logo o denominador (x-2)(x+2) é negativo e tende a 0^{-}. Como numerador também é negativo, a razão tende a
\frac{\text{negativo}}{\text{negativo pequeno}} = +\infty.

Passo 5

Concluímos que o limite pela direita é +\infty em ambos os pontos a=2 e a=-2.

Resposta

(a) a=2 e a=-2

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