Calcule \|2 \vec{u}+4 \vec{v}\|, sabendo que \|\vec{u}\|=1,\|\vec{v}\|=2, e a medida em radianos do ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é \frac{2 \pi}{3}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a norma do vetor 2\vec{u}+4\vec{v} sabendo que \|\vec{u}\|=1, \|\vec{v}\|=2 e que o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} mede \tfrac{2\pi}{3}. O conteúdo que vamos usar envolve a fórmula da norma de uma soma de vetores e o cálculo de produto escalar via cosseno do ângulo.

Passo 2

Para qualquer vetores \vec{u} e \vec{v} e escalares a,b, vale
\|\,a\vec{u}+b\vec{v}\|^2 = a^2\|\vec{u}\|^2 \;+\; b^2\|\vec{v}\|^2 \;+\; 2ab\,(\vec{u}\cdot\vec{v}),
e o produto escalar se relaciona ao cosseno pelo
\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|\cos\theta.

Passo 3

Aqui a=2, b=4, \|\vec{u}\|=1, \|\vec{v}\|=2 e \theta=\tfrac{2\pi}{3}. Logo
\vec{u}\cdot\vec{v} = (1)\,(2)\,\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) =2\!\cdot\!\Bigl(-\tfrac12\Bigr) = -1.

Passo 4

Substituindo na fórmula da norma ao quadrado, obtemos
\|2\vec{u}+4\vec{v}\|^2 =2^2\cdot1^2 + 4^2\cdot2^2 + 2\cdot2\cdot4\cdot(-1) =4 + 64 -16 =52.

Passo 5

Finalmente, a norma é a raiz quadrada desse resultado:
\|2\vec{u}+4\vec{v}\| = \sqrt{52} =2\sqrt{13}.

Resposta

2\sqrt{13}

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