Resolva os sistemas:
\left\{\begin{array}{ccc} \vec{x} \cdot(2,3,4) & = & 9 \\ \vec{x} \wedge(-1,1,-1) & = & (-2,0,2) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede um vetor \vec{x}=(x,y,z) que satisfaça
\vec{x}\cdot(2,3,4)=9
e
\vec{x}\wedge(-1,1,-1)=(-2,0,2).
O conteúdo aqui envolve produto escalar e produto vetorial; vamos transformar cada uma dessas equações em um sistema de equações lineares em x,y,z.

Passo 2

Para expandir o produto vetorial, use
\vec{x}\times(-1,1,-1) =(x,y,z)\times(a_1,a_2,a_3) =(y\,a_3 - z\,a_2,\;z\,a_1 - x\,a_3,\;x\,a_2 - y\,a_1)
com (a_1,a_2,a_3)=(-1,1,-1). Assim,
\vec{x}\times(-1,1,-1) =(-y - z,\;x - z,\;x + y)
deve ser igual a (-2,0,2). Logo obtemos as equações
-y - z = -2, \quad x - z = 0, \quad x + y = 2.

Passo 3

Simplificando:
  • De x - z = 0 vem
z = x.
  • As equações -y - z = -2 e x + y = 2 são equivalentes, pois substituindo z=x na primeira dá -y - x = -2, isto é, x + y = 2.
    Portanto, do produto vetorial restam apenas
z = x, \quad x + y = 2.

Passo 4

Agora usar o produto escalar
2x + 3y + 4z = 9.
Substituindo z=x e y = 2 - x nessa equação, temos
2x + 3(2 - x) + 4x = 9.

Passo 5

Resolver
2x + 6 - 3x + 4x = 9 \quad\Longrightarrow\quad (2 - 3 + 4)x + 6 = 9 \quad\Longrightarrow\quad 3x = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.
Então
y = 2 - x = 1, \quad z = x = 1.

Resposta

\displaystyle \vec{x} = (1,1,1)

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