Determine o intervalo de convergência da série de potências F(x)=sumn=1^infty 3^nn^2(x-13)^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em x0=tfrac13:
F(x)=sumn=1^inftyanl(x-tfrac13r)^n,
onde an=tfrac3^nn^2.
O que precisamos é:
  1. encontrar o raio de convergência R (usando o teste da raiz ou da razão),
  2. determinar o intervalo x:|x-tfrac13|<R,
  3. testar convergência nos pontos extremos x=tfrac13pm R.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz:
L=limntoinftyraiz[n]l|an(x-tfrac13)^nr| =limntoinfty3,|x-tfrac13|raiz[n]n^2 =3,l|x-tfrac13r|cdotunderbracelimntoinftyn^-2/n=1
Para convergir precisamos L<1, ou seja
3,l|x-tfrac13r|<1 Longrightarrow l|x-tfrac13r|<tfrac13
Logo o raio de convergência é
R=tfrac13,
e o intervalo aberto de convergência é
l(tfrac13-tfrac13,;tfrac13+tfrac13r) =(0,;2/3)

Passo 3

Agora testamos o extremo x=tfrac13+R=2/3. Substituindo:
x-tfrac13=tfrac23-tfrac13=tfrac13 Longrightarrow 3^nn^2l(tfrac13r)^n =1n^2
A série sumn=1^infty1/n^2 é uma p-série com p=2>1, logo converge. Portanto x=2/3 está incluído.

Passo 4

Teste o outro extremo x=tfrac13-R=0. Substituindo:
x-tfrac13=0-tfrac13=-tfrac13 Longrightarrow 3^nn^2l(-tfrac13r)^n =(-1)^nn^2
Novamente, em valor absoluto é 1/n^2, que gera convergência absoluta. Logo x=0 também está incluído.

Resposta

O intervalo de convergência da série é
[,0,;2/3,]

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