Determine o intervalo de convergência da série de potências
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências centrada em
:
onde
.
O que precisamos é:
O que precisamos é:
- encontrar o raio de convergência
(usando o teste da raiz ou da razão), - determinar o intervalo
, - testar convergência nos pontos extremos
.
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz:
Para convergir precisamos
L<1 , ou seja
Logo o raio de convergência é
e o intervalo aberto de convergência é
Passo 3
Agora testamos o extremo
x=tfrac13+R=2/3 . Substituindo:
A série
sumn=1^infty1/n^2 é uma
p -série com
p=2>1 , logo converge. Portanto
x=2/3 está incluído.
Passo 4
Teste o outro extremo
x=tfrac13-R=0 . Substituindo:
Novamente, em valor absoluto é
1/n^2 , que gera convergência absoluta. Logo
x=0 também está incluído.
Resposta
O intervalo de convergência da série é