Determine o intervalo de convergência da série de potências
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências centrada em :
O objetivo é determinar para quais valores de essa série converge. Vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois verificar os extremos do intervalo.
Passo 2
Para aplicar o teste da razão, considere o termo geral
Calculamos
Tomando o limite quando ntoinfty, obtemos
L=limntoinfty|an+1an| =2,l|x+1r|
Pelo teste da razão, a série converge se L<1.
Passo 3
A condição 2,l|x+1r|<1 leva a
l|x+1r|<tfrac12
Isso significa que o raio de convergência é R=tfrac12 e o intervalo de convergência sem ainda testar extremos é
-1-tfrac12 < x < -1+tfrac12 Longrightarrow -tfrac32 < x < -tfrac12
Passo 4
Precisamos checar os extremos x=-tfrac32 e x=-tfrac12: