Determine o intervalo de convergência da série de potências F(x)=sumn=1^infty n 2^n(x+1)^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em x=-1:
F(x)=sumn=1^inftyn,2^n(x+1)^n
O objetivo é determinar para quais valores de x essa série converge. Vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois verificar os extremos do intervalo.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, considere o termo geral
an = n,2^n(x+1)^n
Calculamos
|an+1an| =(n+1),2^,n+1,l|x+1r|^,n+1n,2^n,l|x+1r|^n =n+1n;2,l|x+1r|
Tomando o limite quando ntoinfty, obtemos
L=limntoinfty|an+1an| =2,l|x+1r|
Pelo teste da razão, a série converge se L<1.

Passo 3

A condição 2,l|x+1r|<1 leva a
l|x+1r|<tfrac12
Isso significa que o raio de convergência é R=tfrac12 e o intervalo de convergência sem ainda testar extremos é
-1-tfrac12 < x < -1+tfrac12 Longrightarrow -tfrac32 < x < -tfrac12

Passo 4

Precisamos checar os extremos x=-tfrac32 e x=-tfrac12:
  1. Para x=-tfrac12 temos x+1=tfrac12 e a série vira
    sumn=1^inftyn,2^nl(tfrac12r)^n =sumn=1^inftyncdot1^n =sumn=1^inftyn,
    que diverge.
  2. Para x=-tfrac32 temos x+1=-tfrac12 e a série vira
    sumn=1^inftyn,2^nl(-tfrac12r)^n =sumn=1^inftyn,(-1)^n,
    cujos termos não tendem a zero, logo também diverge.
Portanto, nenhum dos extremos está incluído.

Resposta

O intervalo de convergência é
l(-tfrac32,,-tfrac12r)

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