Calcule lim (x, y) (0,0) x^n^22 x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim (x, y) (0,0) x^n^22 x^2+y^2. Esse exercício está no campo de Cálculo Multivariável, especificamente tratando de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função à medida que (x, y) se aproxima de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Queremos saber qual valor a função x^n^22 x^2+y^2 se aproxima quando x e y se aproximam de 0 ao mesmo tempo. Se o limite for o mesmo independente do caminho que escolhemos para chegar a (0,0), então dizemos que o limite existe e é igual a esse valor. Caso contrário, o limite não existe.

Passo 3

Vamos analisar a função x^n^22 x^2+y^2. O numerador é x^n^2 e o denominador é 2 x^2+y^2. O comportamento da função vai depender dos valores de n. Precisamos ver como esses termos se comportam conforme x e y se aproximam de 0.

Passo 4

Vamos considerar diferentes casos para n:
  1. Quando n^2 > 2:
    • O numerador x^n^2 tende a zero muito mais rápido do que o denominador 2 x^2+y^2.
    • Isso significa que a fração inteira tende a zero.
  2. Quando n^2 = 2:
    • O numerador é x^2 e o denominador é 2 x^2 + y^2.
    • Se você aproximar (x,y) por diferentes caminhos, como y = 0 ou y = x, obterá diferentes valores para o limite.
    • Por exemplo:
      • Se y = 0, a função vira x^22x^2 = 12.
      • Se y = x, a função vira x^22x^2 + x^2 = 13.
    • Diferentes caminhos dão resultados diferentes, então o limite não existe nesse caso.
  3. Quando n^2 < 2:
    • O numerador x^n^2 tende a zero mais lentamente do que o denominador.
    • Isso faz com que a fração inteira cresça sem limite à medida que (x,y) se aproxima de (0,0).
    • Ou seja, o limite tende a infinito.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) x^n^22 x^2+y^2 é:
  • 0, se n^2 > 2;
  • Não existe, se n^2 = 2;
  • Infinito, se n^2 < 2.

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