Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está no campo de Cálculo Multivariável, especificamente tratando de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função à medida que
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Queremos saber qual valor a função
se aproxima quando
e
se aproximam de 0 ao mesmo tempo. Se o limite for o mesmo independente do caminho que escolhemos para chegar a
, então dizemos que o limite existe e é igual a esse valor. Caso contrário, o limite não existe.
Passo 3
Vamos analisar a função
. O numerador é
e o denominador é
. O comportamento da função vai depender dos valores de
. Precisamos ver como esses termos se comportam conforme
e
se aproximam de 0.
Passo 4
Vamos considerar diferentes casos para
:
-
Quando
: - O numerador
tende a zero muito mais rápido do que o denominador . - Isso significa que a fração inteira tende a zero.
- O numerador
-
Quando
: - O numerador é
e o denominador é . - Se você aproximar
por diferentes caminhos, como ou , obterá diferentes valores para o limite. - Por exemplo:
- Se
, a função vira . - Se
, a função vira .
- Se
- Diferentes caminhos dão resultados diferentes, então o limite não existe nesse caso.
- O numerador é
-
Quando
: - O numerador
tende a zero mais lentamente do que o denominador. - Isso faz com que a fração inteira cresça sem limite à medida que
se aproxima de . - Ou seja, o limite tende a infinito.
- O numerador
Resposta
O limite
é:
- 0, se
; - Não existe, se
; - Infinito, se
.