Usando varepsilon^prime s e de mostre que lim (x, y) (1,2)(3 x+4 y)=11.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que lim(x,y)to(1,2)(3x+4y)=11 usando a definição varepsilon- de. O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar a noção de distância euclidiana em R^2 e a definição formal de limite.

Passo 2

Pela definição de limite em R^2, precisamos provar que para todo varepsilon>0 existe de0 tal que, se raiz(x-1)^2+(y-2)^2 então |3x+4y-11|.

Passo 3

Começamos manipulando a diferença do valor da função para o suposto limite:
|3x+4y-11|=|3(x-1)+4(y-2)|
Aplicando a desigualdade triangular, obtemos
|3(x-1)+4(y-2)|<=3|x-1|+4|y-2|
Além disso, da condição raiz(x-1)^2+(y-2)^2 segue que |x-1| e |y-2|. Logo,
|3x+4y-11|<3de

Passo 4

Para garantir |3x+4y-11|, basta escolher de de modo que 7de, ou seja,
de
Com essa escolha, sempre que raiz(x-1)^2+(y-2)^2 teremos |3x+4y-11|<7de, completando a prova do limite.

Passo 5

Concluímos, portanto, que lim(x,y)to(1,2)(3x+4y)=11 conforme exigido.

Resposta

11

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