Usando
e
mostre que
.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que
usando a definição
-
. O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar a noção de distância euclidiana em
e a definição formal de limite.
Passo 2
Pela definição de limite em
, precisamos provar que para todo
existe
tal que, se
então
.
Passo 3
Começamos manipulando a diferença do valor da função para o suposto limite:
Aplicando a desigualdade triangular, obtemos
Além disso, da condição
segue que
e
. Logo,
Passo 4
Para garantir
, basta escolher
de modo que
, ou seja,
Com essa escolha, sempre que
Passo 5
Concluímos, portanto, que
conforme exigido.
Resposta
11