Dados u=(2,3,3) e v=(-1,0,-2), calcule a área do paralelogramo determinado por u e v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional: u = (2, 3, 3) e v = (-1, 0, -2). O objetivo é calcular a área do paralelogramo formado por esses dois vetores. Para isso, vamos precisar usar o produto vetorial (ou produto cruzado) entre u e v, que nos dá uma medida importante relacionada à área desse paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre u e v. O produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional é outro vetor que é perpendicular aos dois originais e cuja magnitude (ou comprimento) é igual à área do paralelogramo formado por eles.
A fórmula para o produto vetorial é:
u times v = ( uy vz - uz vy,; uz vx - ux vz,; ux vy - uy vx )
Onde u = (ux, uy, uz) e v = (vx, vy, vz).
Vamos aplicar essa fórmula aos nossos vetores:
  • ux = 2, uy = 3, uz = 3
  • vx = -1, vy = 0, vz = -2
Então:
u times v = ( 3*(-2) - 3*0,; 3*(-1) - 2*(-2),; 2*0 - 3*(-1) )
Simplificando cada componente:
  • Primeira componente: 3*(-2) - 3*0 = -6 - 0 = -6
  • Segunda componente: 3*(-1) - 2*(-2) = -3 + 4 = 1
  • Terceira componente: 2*0 - 3*(-1) = 0 + 3 = 3
Portanto:
u times v = (-6, 1, 3)

Passo 3

Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial, vamos calcular a magnitude dele. A magnitude de um vetor w = (wx, wy, wz) é dada por:
|w| = raizwx^2 + wy^2 + wz^2
No nosso caso, u times v = (-6, 1, 3), então:
|u times v| = raiz(-6)^2 + 1^2 + 3^2 = raiz36 + 1 + 9 = raiz46

Resposta

Assim, a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v é igual a raiz46 unidades de área.

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