Calcule integralegral duplaOmega y cos (x) d A, e Omega é limitado pelos eixos coordenados e pelo gráfico da função y=2 cos (x). R: 43

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaOmega ycos(x),dA
onde Omega é a região do primeiro quadrante limitada pelos eixos coordenados e pela curva y = 2cos(x). Vamos usar integração iterada no sentido dy,dx.

Passo 2

Primeiro encontramos o domínio em x. A curva y=2cos(x) corta o eixo x quando 2cos(x)=0, ou seja em x=tfracpi2. Logo
0<= x<= pi2, 0<= y<= 2cos(x)

Passo 3

Montamos a integral iterada conforme os limites achados:
integral duplaOmega ycos(x),dA = integral0^pi/2 integral0^2cos(x) ycos(x),dy,dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integral0^2cos(x)ycos(x),dy =cos(x)integral0^2cos(x)y,dy =cos(x)[y^22]0^2cos(x) =2cos^3(x)

Passo 5

Agora integramos em x:
integral0^pi/22cos^3(x),dx =2integral0^pi/2cos^3(x),dx
Sabemos que
integralcos^3(x),dx =sin(x)-sin^3(x)3,
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integral0^pi/2cos^3(x),dx =l[sin(x)-tfracsin^3(x)3r]0^pi/2 =1-tfrac13 =tfrac23
Multiplicando por 2 dá
2cdottfrac23 =tfrac43

Resposta

43

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