Calcule integralegral duplaOmega 1(x+y)^2 d A e Omega é a região limitada pelas retas y=x, y=2 x, x=1 e x=2. R: 16 ln 2

Passo 1

O enunciado pede
integral duplaOmega1(x+y)^2,dA
onde Omega é a região limitada por y=x, y=2x, x=1 e x=2. Podemos descrever
Omega=(x,y)mid 1<= x<=2,;x<= y<=2x
e calcular a integral iterada em dy,dx.

Passo 2

Escrevemos a integral como
integral duplaOmega1(x+y)^2,dA =integralx=1^2l(integraly=x^2x1(x+y)^2,dyr),dx
Para a integral interna façamos a substituição t=x+y, de modo que dt=dy. Quando y=x temos t=2x e quando y=2x temos t=3x. Logo,
integraly=x^2x1(x+y)^2,dy =integralt=2x^3x1t^2,dt =l[-tfrac1tr]2x^3x =12x-13x =16x

Passo 3

Substituindo no passo anterior, resta calcular
integral1^216x,dx =16integral1^21x,dx =16[ln x]1^2 =16ln2

Resposta

16ln2

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