Determine a solução geral das equações abaixo:
x d yd x-y=raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
xdydx-y=raizx^2+y^2
Essa equação é homogênea de grau 1 em x e y, pois tanto y quanto raizx^2+y^2 são de mesmo “grau”. Para resolver, vamos usar a substituição clássica para equações homogêneas:
y=v,x

Passo 2

Com y=v,x segue
dydx=v + xdvdx
Substituindo em xdydx-y temos
xl(v + xdvdxr)-v,x = x^2dvdx
Então a equação original vira
x^2dvdx=raizx^2+v^2x^2 =xraiz1+v^2

Passo 3

Isolamos as variáveis v e x:
dvraiz1+v^2=dxx
Agora temos uma equação separável.

Passo 4

Integramos cada lado:
integral dvraiz1+v^2 =integral dxx Longrightarrow arcsinh(v)=lnlvert xrvert + C

Passo 5

Voltando a y, lembrando que v=y/x, obtemos a solução implícita
arcsinh!l(yxr)=lnlvert xrvert + C

Resposta

arcsinh(y/x)=lnlvert xrvert + C

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