Determine a solução geral das equações abaixo:
d yd x=x+y-3x-y-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
dydx = x + y - 3x - y - 1,
e pede a solução geral. Este é um caso de equação de variáveis separáveis após uma mudança de variáveis (translação) para tornar o numerador e denominador homogêneos em x e y.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis
X = x - 2, Y = y - 1
de modo que
x + y - 3 = (X+2)+(Y+1)-3 = X+Y, x - y - 1 = (X+2)-(Y+1)-1 = X - Y
Como dx = dX e dy = dY, a equação fica
dYdX = X+Y,X-Y,

Passo 3

Observamos que agora
dYdX = fl(YXr),
portanto é uma equação homogênea. Introduzimos
v = YX, onde Y = vX

Passo 4

Derivando,
dYdX = v + XdvdX,
e igualando ao lado direito,
v + XdvdX = X+YX-Y = X + vXX - vX = 1+v1-v
Logo
XdvdX = 1+v1-v - v = 1+v - v(1-v)1-v = 1 + v^21-v

Passo 5

Separamos as variáveis e integramos:
1-v1+v^2,dv = dXX
No lado esquerdo,
integral 1-v1+v^2,dv = integral 11+v^2,dv ;-;integral v1+v^2,dv = arctan(v) - 12lnl(1+v^2r)
No lado direito,
integral dXX = lnlvert Xrvert + C
Portanto
arctan(v) - tfrac12lnl(1+v^2r) = lnlvert Xrvert + C

Passo 6

Voltando a v = Y/X e X = x-2, Y = y-1, obtemos a forma implícita da solução geral:
arctan!l(y-1x-2r) -tfrac12ln!l[1+l(y-1x-2r)^2r] = lnllvert x-2rrvert + C
Opcionalmente, pode-se reescrever combinando logaritmos ou multiplicando tudo por 2 para simplificar constantes.

Resposta

boxed arctan!l(y-1x-2r) -tfrac12ln!l[ 1+l(tfracy-1x-2r)^2 r] = lnllvert x-2rrvert + C

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