Determine a solução geral das equações abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral. Este é um caso de equação de variáveis separáveis após uma mudança de variáveis (translação) para tornar o numerador e denominador homogêneos em
e
.
Passo 2
Fazemos a mudança de variáveis
de modo que
Como
e
, a equação fica
Passo 3
Observamos que agora
portanto é uma equação homogênea. Introduzimos
Passo 4
Derivando,
e igualando ao lado direito,
Logo
Passo 5
Separamos as variáveis e integramos:
No lado esquerdo,
No lado direito,
Portanto
Passo 6
Voltando a
e
,
, obtemos a forma implícita da solução geral:
Opcionalmente, pode-se reescrever combinando logaritmos ou multiplicando tudo por 2 para simplificar constantes.