Calcule integralegral duplaOmega yx^2 d A, e Omega é a região limitada no 1^circ quadrante pelos gráficos de y=0, x=2 e x=y^2+1. R: 12 ln 2-14

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaOmega yx^2 , dA . A região Omega está no primeiro quadrante e é limitada pelas curvas y = 0 , x = 2 e x = y^2 + 1 . Para resolver isso, vamos usar integração dupla em coordenadas cartesianas, que é uma técnica de cálculo que permite calcular volumes sob superfícies ou outras quantidades acumuladas sobre uma região plana.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região Omega . Temos três limites:
  1. y = 0 : o eixo x.
  2. x = 2 : uma linha vertical.
  3. x = y^2 + 1 : uma parábola aberta para a direita.
Vamos desenhar essas curvas para visualizar a região. A interseção de x = 2 e x = y^2 + 1 ocorre quando 2 = y^2 + 1 , ou seja, y^2 = 1 e y = 1 (já que estamos no primeiro quadrante onde y >= 0 ).
Então, a região Omega vai de y = 0 até y = 1 e, para cada valor de y nesse intervalo, x varia de x = y^2 + 1 até x = 2 .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Em coordenadas cartesianas, a integral fica assim:
integraly=0^1 integralx=y^2+1^2 yx^2 , dx , dy
Isso significa que, para cada y entre 0 e 1, a gente integra yx^2 em relação a x de y^2 + 1 até 2.

Passo 4

Vamos primeiro calcular a integral interna, que é em relação a x :
integralx=y^2+1^2 yx^2 , dx
Podemos tratar y como uma constante nessa integração. A integral de 1x^2 em relação a x é -1x . Então:
integral yx^2 , dx = y ( -1x ) = -yx

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração:
- yx g|x=y^2+1^2 = -y2 - ( -yy^2+1 ) = -y2 + yy^2+1

Passo 6

Simplificando a expressão resultante:
-y2 + yy^2+1 = y ( 1y^2+1 - 12 )

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a y de 0 a 1:
integral0^1 y ( 1y^2+1 - 12 ) , dy = integral0^1 yy^2+1 , dy - integral0^1 y2 , dy
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 8

Primeira integral:
integral yy^2+1 , dy
Fazemos uma substituição: u = y^2 + 1 , então du = 2y , dy , ou seja, y , dy = du2 .
Portanto:
integral yy^2+1 , dy = 12 integral 1u , du = 12 ln |u| + C = 12 ln (y^2+1) + C

Passo 9

Segunda integral:
integral y2 , dy = 12 integral y , dy = 12 cdot y^22 + C = y^24 + C

Passo 10

Agora, substituímos os limites de 0 a 1 em ambas as integrais:
Primeira parte:
12 ln (1^2+1) - 12 ln (0^2+1) = 12 ln 2 - 12 ln 1 = 12 ln 2
Segunda parte:
1^24 - 0^24 = 14

Passo 11

Finalmente, juntamos os resultados das duas partes:
12 ln 2 - 14

Resposta

A integral dupla vale 12 ln 2 - 14 .

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