Calcule , e é a região limitada no quadrante pelos gráficos de e . R:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla . A região está no primeiro quadrante e é limitada pelas curvas , e . Para resolver isso, vamos usar integração dupla em coordenadas cartesianas, que é uma técnica de cálculo que permite calcular volumes sob superfícies ou outras quantidades acumuladas sobre uma região plana.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região . Temos três limites:
: o eixo x.
: uma linha vertical.
: uma parábola aberta para a direita.
Vamos desenhar essas curvas para visualizar a região. A interseção de e ocorre quando , ou seja, e (já que estamos no primeiro quadrante onde ).
Então, a região vai de até e, para cada valor de nesse intervalo, varia de até .
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Em coordenadas cartesianas, a integral fica assim:
Isso significa que, para cada entre 0 e 1, a gente integra em relação a de até 2.
Passo 4
Vamos primeiro calcular a integral interna, que é em relação a :
Podemos tratar como uma constante nessa integração. A integral de em relação a é . Então:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração:
Passo 6
Simplificando a expressão resultante:
-y2 + yy^2+1 = y ( 1y^2+1 - 12 )
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a y de 0 a 1:
integral0^1 y ( 1y^2+1 - 12 ) , dy = integral0^1 yy^2+1 , dy - integral0^1 y2 , dy
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 8
Primeira integral:
integral yy^2+1 , dy
Fazemos uma substituição: u = y^2 + 1 , então du = 2y , dy , ou seja, y , dy = du2 .
Portanto:
integral yy^2+1 , dy = 12 integral 1u , du = 12 ln |u| + C = 12 ln (y^2+1) + C
Passo 9
Segunda integral:
integral y2 , dy = 12 integral y , dy = 12 cdot y^22 + C = y^24 + C
Passo 10
Agora, substituímos os limites de 0 a 1 em ambas as integrais: