Calcule o limite.
lim t 0(e^-3 t i+t^2sen ^2 t j+cos t k)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de um vetor conforme t se aproxima de 0. A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo de limites e funções trigonométricas. Precisamos entender como cada componente do vetor se comporta quando t fica muito pequeno, perto de zero.

Passo 2

Vamos analisar cada componente do vetor separadamente.
Primeiro, temos e^-3t i . Sabemos que e^x é a função exponencial, e quando x se aproxima de 0, e^x se aproxima de 1. Então, quando t tende a 0, e^-3t tende a e^0 = 1 .

Passo 3

Segundo, temos t^2sin^2 t j . Aqui, usamos a regra que diz limt to 0 sin tt = 1 . Então, sin t é aproximadamente igual a t quando t está perto de 0. Portanto, sin^2 t é aproximadamente t^2 , e t^2sin^2 t se aproxima de t^2t^2 = 1 .

Passo 4

Por último, temos cos t k . Sabemos que cos 0 = 1 , e como cos t é contínua, quando t se aproxima de 0, cos t também se aproxima de 1.

Resposta

Portanto, o limite do vetor quando t tende a 0 é:
lim t 0(e^-3 t i+t^2sin^2 t j+cos t k) = i + j + k

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