Para carda uma dos seguintes campos encontre a divergência e, em caso tridimensional, o rotacional:
F(x, y, z)=x y z i+y z j-y^2 k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a divergência e, como estamos lidando com um campo tridimensional, também o rotacional do campo vetorial $ F(x, y, z) = x y z \vec{i} + y z \vec{j} - y^{2} \vec{k} $. Para isso, vamos usar os conceitos de cálculo vetorial, especificamente as operações de divergência e rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo $ F $. A divergência é uma operação que nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Matematicamente, para um campo $ F = P\vec{i} + Q\vec{j} + R\vec{k} $, a divergência é dada por:
F
No nosso caso, temos:
F = Pi + Qj + Rk
Vamos calcular cada derivada parcial:
div , F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
P = x y z, Q = y z, R = -y^2
partial Ppartial x = partialpartial x(x y z) = y z
Agora, somamos essas derivadas:
partial Qpartial y = partialpartial y(y z) = z

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional do campo $ F $. O rotacional mede a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional é:
F
Vamos calcular cada termo:
rot , F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
partial Rpartial y = partialpartial y(-y^2) = -2y
partial Qpartial z = partialpartial z(y z) = y
partial Ppartial z = partialpartial z(x y z) = x y
partial Rpartial x = partialpartial x(-y^2) = 0
partial Qpartial x = partialpartial x(y z) = 0
Agora, substituímos na fórmula do rotacional:
partial Ppartial y = partialpartial y(x y z) = x z

Resposta

A divergência de $ F $ é $ div , F = y z + z $ e o rotacional de $ F $ é $ rot , F = -3y \vec{i} + x y \vec{j} - x z \vec{k} $.

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