Para carda uma dos seguintes campos encontre a divergência e, em caso tridimensional, o rotacional:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a divergência e, como estamos lidando com um campo tridimensional, também o rotacional do campo vetorial $ F(x, y, z) = x y z \vec{i} + y z \vec{j} - y^{2} \vec{k} $. Para isso, vamos usar os conceitos de cálculo vetorial, especificamente as operações de divergência e rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo $ F $. A divergência é uma operação que nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Matematicamente, para um campo $ F = P\vec{i} + Q\vec{j} + R\vec{k} $, a divergência é dada por:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Agora, somamos essas derivadas:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional do campo $ F $. O rotacional mede a tendência do campo de “girar” em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional é:
Vamos calcular cada termo:
Agora, substituímos na fórmula do rotacional:
Resposta
A divergência de $ F $ é $ div , F = y z + z $ e o rotacional de $ F $ é $ rot , F = -3y \vec{i} + x y \vec{j} - x z \vec{k} $.