Determine o comprimento da curva dada.
r(t)=lang<= t, cos t, 3 sen trang<=,-5 <= t <= 5

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva
r(t)=lang<= t,cos t,3sen trang<=, -5<= t<=5
Isto é um problema de comprimento de arco em curvas parametrizadas por r(t). Vamos usar a fórmula
L=integrala^b|r'(t)|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
r'(t)=llang<=1,,-sen t,,3cos trrang<=

Passo 3

O módulo de r'(t) é
|r'(t)| =raiz1^2+(-sen t)^2+(3cos t)^2 =raiz1+sen^2 t+9cos^2 t
Observe que
sen^2 t+9cos^2 t =sen^2 t+cos^2 t+8cos^2 t =1+8cos^2 t,
logo
|r'(t)| =raiz1+(1+8cos^2 t) =raiz2+8cos^2 t =raiz2,raiz1+4cos^2 t

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento, obtemos
L =integral-5^5|r'(t)|,dt =raiz2integral-5^5raiz1+4cos^2 t;dt

Passo 5

A função dentro da integral é par, pois cos(-t)=cos t. Logo
L =raiz2cdot2integral0^5raiz1+4cos^2 t;dt =2raiz2integral0^5raiz1+4cos^2 t;dt

Passo 6

Não existe primitiva elementar para raiz1+4cos^2 t. Essa integral normalmente se expressa em termos de integrais elípticas do segundo tipo. Portanto, a forma final exata é
L =2raiz2integral0^5raiz1+4cos^2 t;dt,
ou, em notação de elíptica,
L=2raiz2;E!l(5m|!-4r),
onde E(phimid m) é a integral elíptica do segundo tipo incompleta.

Resposta

boxedL =2raiz2integral0^5raiz1+4cos^2 t;dt
Ou equivalentemente
boxedL =2raiz2;E!l(5m|!-4r)

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