Resolva o problema de valor iniciado dado: y^prime prime-6 y^prime+9 y=0; y(0)=2, y^prime(0)=25 / 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 6y' + 9y = 0,
com as condições y(0)=2 e y'(0)=tfrac253.
Isso envolve uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, que será solucionada por meio da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à equação diferencial homogênea:
r^2 - 6r + 9 = 0
Resolvendo-a, notamos que é um trinomio quadrado perfeito:
r^2 - 6r + 9 = (r - 3)^2 = 0
portanto r = 3 é raiz dupla.

Passo 3

Como a raiz r=3 tem multiplicidade 2, a forma geral da solução é
y(t) = C1 e^3t + C2,t,e^3t,
onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calculamos a derivada de y(t):
y'(t) = 3C1 e^3t + C2 e^3t + 3C2 t e^3t = e^3tl(3C1 + C2 + 3C2 tr)
Em t=0, as condições iniciais dão
y(0) = C1 = 2,
y'(0) = 3C1 + C2 = 3cdot 2 + C2 = 6 + C2 = tfrac253
Assim,
C2 = tfrac253 - 6 = tfrac253 - tfrac183 = tfrac73

Passo 5

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos
y(t) = 2,e^3t + tfrac73,t,e^3t

Resposta

y(t) = e^3tl(2 + tfrac73,tr)

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