Resolva o problema de valor iniciado dado:
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
com as condições
e
.
Isso envolve uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, que será solucionada por meio da equação característica.
Isso envolve uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, que será solucionada por meio da equação característica.
Passo 2
Formamos a equação característica associada à equação diferencial homogênea:
Resolvendo-a, notamos que é um trinomio quadrado perfeito:
portanto
é raiz dupla.
Passo 3
Como a raiz
tem multiplicidade 2, a forma geral da solução é
onde
e
são constantes que vamos determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Calculamos a derivada de
:
Em
, as condições iniciais dão
Assim,
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos