Resolva o problema de valor inicial dado: y^prime prime prime-4 y^prime prime+7 y^prime-6 y=0 ; y(0)=1, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y''' - 4y'' + 7y' - 6y = 0, y(0)=1,;y'(0)=0,;y''(0)=0
O conteúdo é EDO linear homogênea a coeficientes constantes. Vamos achar primeiro as raízes da equação característica e, em seguida, usar as condições iniciais para determinar as constantes da solução geral.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^3 - 4r^2 + 7r - 6 = 0
Testando raízes inteiras, vemos que r=2 anula o polinômio. Dividindo por (r-2), obtemos
r^2 - 2r + 3 = 0,
cuja solução é
r = 2 pm raiz4 -122 = 1 pm iraiz2

Passo 3

Como as raízes são r1=2, r2,3=1pm iraiz2, a solução geral é
y(x) = C1 e^2x + e^xl(C2cos(raiz2,x)+C3sin(raiz2,x)r)

Passo 4

Para aplicar as condições iniciais, calculamos as derivadas:
Defina
f(x)=e^xl(C2cos(raiz2x)+C3sin(raiz2x)r)
Então
y(x)=C1e^2x+f(x),
y'(x)=2C1e^2x+f'(x), y''(x)=4C1e^2x+f''(x)
Em x=0 temos
f(0)=C2, f'(0)=C2 + C3raiz2, f''(0)=-C2+2C3

Passo 5

Agora impomos as condições iniciais em x=0:
y(0)=C1 + C2 = 1,
y'(0)=2C1 + (C2 + C3raiz2) = 0,
y''(0)=4C1 + (-C2 + 2C3) = 0
Isso gera o sistema linear para C1,C2,C3.

Passo 6

Resolvendo
C1 + C2 = 1, 2C1 + C2 + C3raiz2 = 0, 4C1 - C2 + 2C3 = 0,
obtemos
C1 = 7 + 6raiz223, C2 = 16 - 6raiz223, C3 = -6 + 15raiz223

Resposta

y(x) =7 + 6raiz223,e^2x +e^xl(16 - 6raiz223cos(raiz2,x) -6 + 15raiz223sin(raiz2,x)r)

Exercícios relacionados