Calcule o limite:
lim (x, y) (0,0) y^3x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis:
lim(x,y)to(0,0) y^3x^2+y^2
Isso envolve limites em R^2; vamos usar uma estimativa (teorema do aperto) para mostrar que esse quociente tende a zero.

Passo 2

Observe a desigualdade
x^2 + y^2 ;>=; y^2 Longrightarrow gl|y^3x^2+y^2gr| ;=;|y|^3x^2+y^2 ;<=;|y|^3y^2 ;=;|y|
Logo, para todo (x,y)neq(0,0) vale l|y^3/(x^2+y^2)r|<=|y|.

Passo 3

Como (x,y)to(0,0) implica |y|to0, pelo teorema do aperto concluímos que
y^3x^2+y^2;longrightarrow;0

Resposta

,0

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