Usando a definição de limite, mostrar que:
lim (x, y) (0,0) -4 x y^35 x^2+5 y^2=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite ( epsilon de<a), que
lim(x,y)to(0,0) -4,x,y^35,(x^2+y^2) = 0
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis no ponto (0,0). Para resolver, vamos estimar o valor absoluto da função em termos da distância r = raizx^2+y^2 e escolher de<a adequadamente para que |f(x,y)-0|<varepsilon.

Passo 2

Defina
f(x,y) = -4,x,y^35,(x^2+y^2)
Queremos estimar
l|f(x,y)r| = 4,|x|,|y|^35,(x^2+y^2)

Passo 3

Note que, se r = raizx^2+y^2, então |x|<= r e |y|<= r. Logo
|x|,|y|^3 <= r cdot r^3 = r^4

Passo 4

Também x^2+y^2=r^2. Portanto
l|f(x,y)r| <= 4,r^45,r^2 = 45,r^2

Passo 5

Dado varepsilon>0, queremos 45,r^2<varepsilon, ou seja
r^2 < 54,varepsilon Longrightarrow r < raiz54,varepsilon
Escolha
de<a = mingl(1,;raiztfrac54,varepsilongr)
Assim, sempre que 0<raizx^2+y^2<de<a, temos
l|f(x,y)r| <= 45,r^2 < 45,54,varepsilon = varepsilon
Isso completa a prova pelo critério epsilon de<a.

Resposta

0

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