Usando a definição de limite, mostrar que:
lim (x, y) (-4,-2)(4 x-3 y)=-10

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite em R^2, que
lim(x,y)to(-4,-2)l(4x-3yr) = -10
O conteúdo principal aqui é a definição varepsilon de<a de limite para funções de duas variáveis: para todo varepsilon>0 devemos encontrar de<a>0 tal que se
raiz(x+4)^2+(y+2)^2<de<a
então
l|(4x-3y)-(-10)r|<varepsilon

Passo 2

Primeiro calculamos o valor da função no ponto alvo para identificar o limite candidato:
4cdot(-4)-3cdot(-2) = -16 + 6 = -10
Portanto esperamos que o limite seja -10.

Passo 3

Começamos a partir da quantidade que queremos controlar:
l|(4x-3y)-(-10)r| = |4x-3y+10| = l|4(x+4)-3(y+2)r|
Usando desigualdade triangular:
l|4(x+4)-3(y+2)r|<= 4|x+4| + 3|y+2|

Passo 4

Como
raiz(x+4)^2+(y+2)^2<de<a
implica |x+4|<de<a e |y+2|<de<a, temos
4|x+4| + 3|y+2| < 4de<a + 3de<a = 7de<a
Logo
l|(4x-3y)-(-10)r| < 7de<a

Passo 5

Para garantir que |(4x-3y)-(-10)|<varepsilon, basta escolher
de<a = varepsilon7
De fato, se raiz(x+4)^2+(y+2)^2<de<a, então
l|(4x-3y)-(-10)r| < 7de<a = 7cdotvarepsilon7 = varepsilon
Isso conclui a prova pelo critério varepsilon de<a.

Resposta

lim(x,y)to(-4,-2)(4x-3y) = -10

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