Resolva as equações a seguir.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial linear de ordem 4 com coeficientes constantes
O conteúdo usado é o método geral para EDOs lineares: a solução geral é soma da solução da homogênea e de uma particular. Vamos precisar achar as raízes do polinômio característico para a parte homogênea e usar o método dos coeficientes a determinar para a parte particular (dividindo a forçante em termo constante e termo exponencial-polinomial).
Passo 2
Para a solução homogênea formamos o polinômio característico
cujo conjunto de raízes é
(multiplicidade 3) e
(multiplicidade 1). Logo a solução geral homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para a parte particular correspondente ao termo constante
, notamos que
é raiz do característico de multiplicidade 3 e a forçante é um polinômio de grau 0. Então multiplicamos por
e propomos
Calculando
temos
Logo
Passo 4
Para a parte particular do termo
, usamos método dos coeficientes a determinar. Como
corresponde à raiz
de multiplicidade 1 e o polinômio é de grau 2, propomos
Aplicando derivadas por Leibniz e substituindo em
obtém-se o sistema
cuja solução é
Portanto
Passo 5
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com as duas particulares: