Resolva as equações a seguir.
y^(4)+y^prime prime prime=1-x^2 e^-x

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial linear de ordem 4 com coeficientes constantes
y^(4) + y''' = 1 - x^2 e^-x
O conteúdo usado é o método geral para EDOs lineares: a solução geral é soma da solução da homogênea e de uma particular. Vamos precisar achar as raízes do polinômio característico para a parte homogênea e usar o método dos coeficientes a determinar para a parte particular (dividindo a forçante em termo constante e termo exponencial-polinomial).

Passo 2

Para a solução homogênea formamos o polinômio característico
r^4 + r^3 = r^3(r+1) = 0,
cujo conjunto de raízes é r=0 (multiplicidade 3) e r=-1 (multiplicidade 1). Logo a solução geral homogênea é
yh(x) = C1 + C2 x + C3 x^2 + C4 e^-x,
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a parte particular correspondente ao termo constante 1, notamos que r=0 é raiz do característico de multiplicidade 3 e a forçante é um polinômio de grau 0. Então multiplicamos por x^3 e propomos
yp1(x) = A,x^3
Calculando
yp1'''!(x) = 6A, yp1^(4)(x)=0,
temos
yp1^(4) + yp1''' = 6A = 1 Longrightarrow A = tfrac16
Logo
yp1(x) = x^36

Passo 4

Para a parte particular do termo -x^2 e^-x, usamos método dos coeficientes a determinar. Como e^-x corresponde à raiz r=-1 de multiplicidade 1 e o polinômio é de grau 2, propomos
yp2(x) = e^-x,xl(A x^2 + B x + Cr)
Aplicando derivadas por Leibniz e substituindo em y^(4)+y''' obtém-se o sistema
-3A = -1, 18A - 2B = 0, -18A + 6B - C = 0,
cuja solução é
A = tfrac13, B = 3, C = 12
Portanto
yp2(x) = e^-xl(tfrac13x^3 + 3x^2 +12xr)

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com as duas particulares:
y(x) = C1 + C2 x + C3 x^2 + C4 e^-x + x^36 + e^-xl(tfrac13x^3 + 3x^2 +12xr)

Resposta

y(x) = C1 + C2 x + C3 x^2 + C4 e^-x + x^36 + e^-xl(x^33 + 3x^2 + 12xr)

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