Calcule o limite:
lim (x, y) (0,0) x^4-25 y^4x^2+5 y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis
lim(x,y)to(0,0)x^4-25y^4x^2+5y^2
O conteúdo aqui envolve limites em várias variáveis e fatoração de diferença de quadrados. Vamos usar a fatoração para simplificar a expressão.

Passo 2

Fatoramos o numerador como diferença de quadrados, reconhecendo (x^2)^2-(5y^2)^2:
x^4-25y^4 = (x^2)^2-(5y^2)^2 = l(x^2-5y^2r)l(x^2+5y^2r)

Passo 3

Substituindo essa fatoração na fração original, obtemos para (x,y)neq(0,0)
x^4-25y^4x^2+5y^2 = (x^2-5y^2)(x^2+5y^2)x^2+5y^2 = x^2-5y^2

Passo 4

A função simplificada x^2-5y^2 é contínua em (0,0), logo o limite é dado pela substituição direta:
lim(x,y)to(0,0)l(x^2-5y^2r) = 0^2-5cdot0^2 = 0

Resposta

O limite é 0.

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