Calcule o limite:
lim (x, y) (1,-1) x^3-x y^2x+y

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite de uma função de duas variáveis quando $x,y)$ se aproxima de $1,-1)$. O conteúdo principal aqui é limite de funções de várias variáveis e vamos precisar usar fatoração para eliminar a indeterminação do tipo 0/0.

Passo 2

O numerador x^3 - x y^2 = x(x^2 - y^2) pode ser fatorado usando a diferença de quadrados. Primeiro, observe que $x^3 - x y^2 = x(x^2 - y^2)$. Em seguida, aplique a identidade $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ com $a = x$ e $b = y$. Assim obtemos:
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Passo 3

Como $x+y)$ tende a zero mas não é zero nos pontos próximos, podemos simplificar a expressão original cancelando $x+y)$ no numerador e denominador. Logo, para $x+y \neq 0$ a função é equivalente a:
x+y)

Passo 4

Agora basta avaliar o limite da função simplificada $x(x - y))$ quando $x \to 1$ e $y \to -1$. Substituindo, temos $1 \cdot (1 - (-1)) = 1 \cdot 2 = 2$.

Resposta

2

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