Mostrar que os limites seguintes não existem:
lim (x, y) (0,2) x^3(y-2)^2x^5+3(y-2)^5

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
lim(x,y)to(0,2) x^3(y-2)^2x^5+3(y-2)^5
não existe. Aqui usamos o critério de que, se o limite em duas variáveis existisse, ele teria que ser o mesmo ao longo de qualquer caminho de aproximação. Basta achar duas curvas que levem a valores diferentes para concluir que o limite não existe.

Passo 2

Vamos aproximar (x,y)to(0,2) pela reta
y-2 = a,x,
onde a é um parâmetro real. Substituindo temos
x^3(y-2)^2x^5+3(y-2)^5 = x^3(a x)^2x^5+3(a x)^5 = a^2 x^5x^5+3a^5x^5 = a^2 x^5(1+3a^5),x^5 = a^21+3a^5
Como isso é independente de x, o limite ao longo dessa reta é
limxto0x^3(y-2)^2x^5+3(y-2)^5 = a^21+3a^5

Passo 3

O valor a^21+3a^5 depende de a. Por exemplo, para a=0 obtemos 0 e para a=1 obtemos tfrac14. Como há caminhos que dão limites diferentes, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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