Calcule o limite:
lim (x, y) (0,0) -9 x^2 raizyraizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x,y) = -9,x^2,raizyraizx^2+y^2
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é cálculo de limite em várias variáveis e vamos usar coordenadas polares para ver como f se comporta quando o raio r tende a zero.

Passo 2

Como há raizy, só faz sentido em y>=0. Em coordenadas polares definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
com r>=0 e thetain[0,pi]. Então raizy = raizrsintheta = raizr,raizsintheta e raizx^2+y^2 = r.

Passo 3

Substituindo na expressão de f:
f(r,theta) = -9,(rcostheta)^2,raizr,raizsinthetar = -9,r^2cos^2theta;raizr,raizsinthetar = -9,r^1,5,cos^2theta,raizsintheta
Aqui usamos que (rcostheta)^2=r^2cos^2theta e simplificamos um fator r.

Passo 4

Para qualquer ângulo fixo theta, cos^2thetaraizsintheta é limitado. Logo,
limrto0f(r,theta) = limrto0l(-9,r^1,5,cos^2theta,raizsinthetar) = 0
Isso mostra que f(x,y)to0 independentemente da direção de aproximação (em y>=0).

Resposta

0

Exercícios relacionados