Determine as derivadas parciais da função:
w=ln (t s)+ts

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as derivadas parciais da função w = ln(ts) + ts . Aqui, vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais. Precisaremos lembrar como derivar funções logarítmicas e funções que são quocientes de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de w em relação a t , ou seja, partial wpartial t .
A função é w = ln(ts) + ts .
Vamos derivar cada termo em relação a t :
  1. Para ln(ts) , usamos a regra da derivada da função logarítmica. A derivada de ln(u) em relação a t é 1u cdot partial upartial t . Aqui, u = ts , então partial upartial t = s .
    Então, a derivada de ln(ts) em relação a t é 1ts cdot s = 1t .
  2. Para ts , considerando s como uma constante em relação a t , a derivada é simplesmente 1s .
Somando as duas derivadas, temos:
partial wpartial t = 1t + 1s

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de w em relação a s , ou seja, partial wpartial s .
A função continua sendo w = ln(ts) + ts .
Vamos derivar cada termo em relação a s :
  1. Para ln(ts) , novamente usamos a regra da derivada da função logarítmica. A derivada de ln(u) em relação a s é 1u cdot partial upartial s . Aqui, u = ts , então partial upartial s = t .
    Então, a derivada de ln(ts) em relação a s é 1ts cdot t = 1s .
  2. Para ts , vamos usar a regra do quociente. A derivada de ts em relação a s é -ts^2 .
Somando as duas derivadas, temos:
partial wpartial s = 1s - ts^2

Resposta

As derivadas parciais da função são:
partial wpartial t = 1t + 1s
partial wpartial s = 1s - ts^2

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